2. Историческое и математическое познание

2. Историческое и математическое познание

Относительно исторических истин, — о которых упомянем вкратце, поскольку рассматривается именно их чисто историческая сторона, — легко согласиться, что они касаются единичного наличного бытия, некоторого содержания со стороны его случайности и произвола, его определений, которые не необходимы. — Но даже такие голые истины, как в приведенных нами примерах, невозможны без некоторого движения самосознания. Чтобы узнать одну из них, нужно многое сравнить, порыться в книгах, т. е. тем или иным способом произвести исследование; точно так же и при непосредственном созерцании только знание их вместе с их основаниями считается чем-то, что обладает истинной ценностью, хотя, собственно говоря, здесь как будто важен только голый результат.

Что касается математических истин, то еще в меньшей мере мог бы считаться геометром тот, кто знал бы теоремы Эвклида наизусть (auswendig), без их доказательств, не зная их, — если можно так выразиться для противоположения — внутренне (inwendig). Точно так же считалось бы неудовлетворительным знание, которое было бы приобретено путем измерения многих прямоугольных треугольников, относительно того, что их стороны находятся в известном отношении друг к другу. Однако и в математическом познавании существенность доказательства еще не имеет значения и характера момента самого результата; напротив, в нем доказательство закончилось и исчезло. Правда, теорема как результат есть нечто рассматриваемое как истинное. Но это привходящее обстоятельство касается не ее содержания, а только отношения к субъекту. Движение математического доказательства не принадлежит тому, что есть предмет, а есть действование, по отношению к существу дела внешнее. Природа прямоугольного треугольника, например, сама не разлагается так, как это изображается на чертеже, необходимом для доказательства положения, выражающего его отношение; полное выведение результата есть ход и средство познавания. — В философском познавании становление наличного бытия как наличного бытия также отличается от становления сущности или внутренней природы дела. Но философское познавание, во-первых, содержит и то и другое, тогда как математическое познавание, напротив, изображает только становление наличного бытия, т. е. бытия природы дела в познавании как таковом. Во-вторых, философское познавание объединяет и эти два особых движения. Внутреннее возникновение или становление субстанции есть прямо переход во внешнее или в наличное бытие, в бытие для другого, и, наоборот, становление наличного бытия есть возвращение в сущность. Движение есть двойной процесс и становление целого в том смысле, что в одно и то же время каждое полагает другое и каждому поэтому присуще и то и другое как два аспекта; совместно они составляют целое благодаря тому, что они сами себя растворяют и превращают себя в моменты.

В математическом познавании усмотрение есть действование, для сути дела внешнее; это следует из того, что истинная суть дела благодаря этому изменяется. Поэтому средство, т. е. чертеж и доказательство, содержит, правда, истинные положения; но точно так же надо сказать, что содержание ложно. Треугольник в вышеприведенном примере разрывают, и его части обращают в другие фигуры, возникающие благодаря чертежу. Только к концу восстанавливается тот треугольник, из-за которого, собственно говоря, и было все предпринято, но который был потерян из виду в этом процессе и был представлен только в частях, принадлежавших другим целым. — Таким образом, мы видим, что и здесь выступает негативность содержания, которую с таким же правом можно было бы называть его ложностью, как и в движении понятия — исчезновение мыслей, которые считаются установившимися.

Но в собственном смысле несовершенство этого познавания имеет отношение как к самому познаванию, так и к его материалу вообще. — Что касается познавания, то прежде всего не видна необходимость чертежа. Он не вытекает из понятия теоремы, а навязывается, и мы слепо должны повиноваться этому предписанию — провести именно данные линии, вместо которых можно было бы провести бесконечное множество иных, — ничего больше не зная, имея лишь уверенность в том, что это целесообразно для ведения доказательства. И впоследствии действительно обнаруживается эта целесообразность, которая остается только внешней по одному тому, что она обнаруживается только впоследствии при доказательстве. — Точно так же доказательство ведется путем, который где-то начинается, еще неизвестно, в каком отношении к искомому результату. В процессе доказательства принимаются данные определения и отношения и игнорируются другие, причем непосредственно нельзя усмотреть, в силу какой необходимости это делается. Этим движением управляет некоторая внешняя цель.

Очевидность этого несовершенного познавания, которой математика гордится и кичится перед философией, покоится лишь на бедности ее цели и несовершенстве ее материала, а потому это такая очевидность, которую философия должна отвергать. — Цель математики или ее понятие есть величина. А это есть как раз несущественное, лишенное понятия отношение. Движение знания совершается поэтому на поверхности, касается не самой сути дела — сущности или понятия — ив силу этого не есть постигание в понятии. — Материал, относительно которого математика обеспечивает, удовлетворяющий запас истин, есть пространство и [счетная] единица. Пространство есть наличное бытие, в которое понятие вписывает свои различия, как в пустую мертвую стихию, где они точно так же неподвижны и безжизненны. Действительное не есть нечто пространственное в том смысле, в каком оно рассматривается в математике; с такой недействительностью, каковы вещи в математике, не имеет дела ни конкретное чувственное созерцание, ни философия. Ведь в такой недействительной стихии и бывает только недействительное истинное, т. е. фиксированные, мертвые положения. На каждом из них можно прервать изложение; каждое последующее начинает для себя сначала, причем первое само не переходит ко второму, и между ними, таким образом, не возникает необходимой связи, вызываемой природой самой вещи (Sache). — Вследствие упомянутого принципа и стихии-и в этом состоит формальный характер математической очевидности — знание переходит от равенства к равенству. Ибо мертвое, так как оно само не приводит себя в движение, не доходит до различения сущности, до существенного противоположения или неравенства, не достигает поэтому и перехода противоположного в противоположное, не доходит до качественного, имманентного движения, до самодвижения. Ибо именно одну лишь величину, [т. е.] различие несущественное, и рассматривает математика. Она абстрагируется от того, что именно понятие разлагает пространство на его измерения и определяет связи между ними и в них. Она не рассматривает, например, отношения линии к плоскости, а там, где она сравнивает диаметр круга с окружностью, она наталкивается на несоизмеримость их, т. е. на некоторое отношение понятия, на нечто бесконечное, ускользающее от математического определения.

Имманентная, так называемая чистая математика не противопоставляет пространству также времени как времени, в качестве второго материала для своего рассмотрения. Прикладная математика, правда, трактует о нем, как и о движении, а также и о других действительных вещах; но она заимствует из опыта синтетические положения, т. е. положения об отношениях действительных вещей, которые определены понятием последних, и только к этим предпосылкам она применяет свои формулы. Тот факт, что так называемые доказательства таких часто выдвигаемых ею положений, как положение о равновесии рычага, об отношении пространства и времени в движении падения и т. д., выдаются и принимаются за доказательства, — сам есть лишь доказательство того, как велика для познавания надобность в доказывании, потому что познавание там, где оно уже не располагает доказательствами, придает значение даже пустой видимости их и находит в этом удовлетворение. Критика таких доказательств была бы столь же достойна внимания, сколь и поучительна, с одной стороны, для того, чтобы снять с математики это фальшивое украшение, а, с другой стороны, для того, чтобы показать ее границы и отсюда — необходимость иного знания. — Что касается времени, о котором внушалось мнение, будто оно, в противоположность пространству, составляет материал другой части чистой математики, то оно само есть налично сущее понятие. Принцип величины — различия, лишенного понятия, — и принцип равенства — абстрактного безжизненного единства — не способны заниматься с тем чистым беспокойством жизни и абсолютным различением. Посему эта негативность, только будучи парализована, т. е. в качестве [счетной] единицы, становится вторым материалом этого познавания, которое, оставаясь внешним действованием, низводит самодвижущееся до материала, чтобы располагать в нем безразличным, внешним, безжизненным содержанием.