13. Математика и естественнонаучная реальность мира

13. Математика и естественнонаучная реальность мира

13.1. Математизация как принцип целостности естествознания

Постоянно углубляющаяся математизация всех разделов естественных наук, и особенно физики — лидера естествознания всех научных веков, одна из важнейших культурных особенностей цивилизации, без которой просто нельзя представить себе современное естествознание. Введение в естествознание новых, все более абстрактных математических дисциплин — единственный пока что способ придать вновь открываемым и уже известным законам природы достаточно универсальный, всеобщий характер.

Наиболее полная и последовательная математизация в естествознании была впервые осуществлена в физике (точнее, в механике) Ньютоном. Чтобы сформулировать полную систему законов механического движения, Ньютону (и независимо от него Лейбницу) пришлось создать новый раздел математики — дифференциальное и интегральное исчисление.

Триумф ньютоновой механики в точном, однозначном объяснении множества экспериментальных данных астрономии, инженерного дела, баллистики и т. п. (после чего и появилось понятие о точных науках). Это стало предпосылкой появления концепции механистического естествознания, как исторически первой программы установления теоретического единства механистической науки (путем сведения всех ее явлений к простым, сложным или специфическим механическим перемещениям).

В начале XX века еще более грандиозную, чем Ньютон, математизацию физики совершил великий немецкий физик Альберт Эйнштейн.

Огромной заслугой Альберта Эйнштейна и немецкого математика Германа Минковского перед методологией физики считается то, что они, не опираясь, по существу, ни на какие новые опытные данные, а исходя только из методологического анализа основных понятий классической механики, пришли к логическому выводу о необходимости замены евклидова пространства на новое пространство. Изменение метрического типа пространства, в которое «погружены» все интересующие нас объекты, пространства, в котором разворачиваются все физические события нашего мира, является необходимым для более точного описания даже простейшего — равномерного и прямолинейного механического движения. Как известно, этот тип нового пространства получил впоследствии название псев-доэвклидова, или пространства (или мира) Минковского (см. главу 3).

Следующий шаг проведения в жизнь программы «геометризации» физики — в так называемой «общей теории относительности», был в этом плане совершенно последовательным: привлечь для характеристики гравитационных состояний физических объектов другие новые пространства. Ими оказались римановы, произвольно «искривленные», в окрестности каждой точки, локальные пространства. Здесь Эйнштейн уже во всей полноте использовал идею великих математиков XIX в. (Клиффорда в первую очередь, и Римана) о том, что наиболее общим типом изменения абстрактных математических структур физической теории является не только вариация траекторий движения материальных точек, но также и изменение метрических свойств объемлющего их пространства.

Экспериментальное подтверждение общей теории относительности вызвало к жизни в 20-е гг. прошлого века еще более фантастические надежды — «свести» и электромагнитные взаимодействия к изменениям метрики объемлющего физические объекты пространства (попытка немецкого физика Теодора Калуцы, а затем немецкого математика Феликса Клейна и др.).

Однако надежды не оправдались: природа оказалась «устроенной» гораздо более богато и разносторонне, чем это предполагали даже величайшие умы человечества. Ни самому А. Эйнштейну, ни таким его маститым последователям, как Э. Шредингер, В. Паули, Г… Веблен, Т. Калуца, П. Бергман и другим, не удалось свести только к изменениям пространственной метрики ни электромагнетизм, ни тем более открытые позднее сильные (ядерные) — мезонные и слабые (распадные) — лептонные взаимодействия.

Нам представляется, что шаги, сделанные Эйнштейном в направлении геометризации физической науки, необратимы. Мы должны тщательно проанализировать причины неудач А. Эйнштейна и идти дальше и глубже. Ведь математизация физики XX в. значительна прежде всего тем, что в ней базовые математические структуры геометрии, алгебры и анализа стали существенными компонентами самих основных физических понятий.

Ошибка, точнее личная неудача, Эйнштейна кроется не здесь: она содержится, по мнению большинства современных исследователей, в ограничении себя рассмотрением изменения только метрических структур геометрии. Изменения пространственной метрики хорошо описывают изменения гравитационных состояний физических объектов, но ниоткуда не следует, что та же самая метрика должна нести ответственность за такие качественно весьма и весьма отличные от тяготения физические явления, как электромагнетизм или, тем более новые, взаимодействия физики элементарных частиц.

Математика квантовой теории как концептуальная база современного естествознания. Квантовая теория только потому и оказалась концептуальной базой теоретического синтеза естественнонаучных дисциплин, что такие ее понятия, как состояние, наблюдаемое, оператор и другие, «вобрали» в себя в особо «плотном» виде все наиболее существенные черты и характеристики самых различных объектов исследования физики, химии, а теперь и биологии.

Оказалось возможным, с единой точки зрения, не просто качественно описать, но и количественно, предсказательно, прогнозно, хотя и с вероятностной точностью, рассчитать процессы благодаря введению в физическую теорию принципиально новых математических структур бесконечномерного гильбертова пространства. С позиций методологии, квантовая теория для нас ныне — это не больше чем реализация эйнштейновской программы «геометризации» физики, но только не с помощью произвольно искривленных конечномерных римановых пространств, а уже с использованием не менее абстрактных и необычно «устроенных» математических объектов — бесконечномерных гильбертовых пространств.

Что же касается проблемы единства естественнонаучного знания, то действительно, огромные достижения квантовой механики в установлении концептуального синтеза теоретической физики и теоретической химии уже в 30-е годы породили очень большие иллюзии относительно простоты и легкости построения наиболее общей и единой естественнонаучной теории нашего времени. Ученые полагали, что достаточно будет более или менее точно согласовать друг с другом теорию относительности и квантовую механику — либо в форме релятивистки инвариантной записи основных квантовых уравнений, либо путем построения особой релятивисткой квантовой теории поля — и последняя автоматически окажется также и общей теорией элементарных частиц и, тем самым, столь же автоматически, осуществит наиболее глубокий синтез всех существующих физических теорий, а на их основе и всего естественнонаучного знания.

Проблема единства физики и современная математика. Надо сказать, что до сих пор вся физика была теорией локально-тривиальных расслоенных пространств определенных типов — одно из самых глубинных и «очевидных» убеждений ученых состояло в том, что, по крайней мере, локально всякую физическую величину можно определить как произведение дифференциалов других величин (например, работа — ее дифференциал, это произведение силы на дифференциал пути и т. п.). Теперь, по-видимому, в теории элементарных Частиц от этих интуитивно «очевидных» представлений придется отказаться, а вместе с ними отказаться и от очень многих «стандартных» способов построения физических теорий (с помощью лагранжианов, вариационных принципов и т. п.)

Очень ярким примером теорем типа «не ходить», убедительно демонстрирующим достаточно далеко зашедший процесс взаимной конфронтации понятийных систем в современной физике, являются теоремы Пенроуза-Хокинга об обязательном появлении во всякой физической реализации вселенных Эйнштейна-Фридмана геодезических, имеющих или начало в какой-то точке, или конец в некоторой другой точке, или то и другое вместе.

Р. Пенроуз и С. Хокинг смогли показать, что четырехмерные многообразия (СТО и ОТО), являющиеся решениями уравнений Эйнштейна в таких условиях, всегда обладают свойством геодезической неполноты, проще говоря, на них всегда возможно совершенно беспричинное и ничем не обусловленное появление (или исчезновение, или и то и другое вместе) материальных корпускул (черные и белые дыры).

Если теперь добавить к теоремам о геодезической неполноте результаты других авторов о том, что решения Эйнштейна, в общем случае, оказываются связанными с очень патологическими, в математическом плане, объектами, например, так называемыми «нехаусдорфовыми пространствами» (в которых существуют точки, которые никакими окрестностями нельзя отделить от некоторых подмножеств и в которых все пределы могут стать существенно неоднозначными), то станет ясно, что уже сейчас вполне разумно поставить вопрос о возможных последствиях и итогах таких конфронтационных ситуаций в самом общем виде: к чему все это вместе взятое может привести в конце концов? И эта только начало современного перечня глубоких концептуальных конфликтов в естествознании.

Результатом всех предшествующих конфронтацией была своя особенная математико-концептуальная модернизация физической науки. Так, конфронтация классической механики, электродинамики и статистической физики в области учения о строении атома была разрешена в форме создания новых, квантовых понятий, немыслимых без теории гильбертовых пространств, которая была создана всего за два с половиной десятилетия до разработки квантовой механики.

Конфронтация классической электродинамики и классической механики в области оптики быстродвижущихся сред и гравитационных явлений разрешилась формированием новых понятий общей и специальной теории относительности, существенно использующих тензорные алгебру и анализ, разработанные только за три десятилетия до их использования Эйнштейном в физике. Конфронтация механики Ньютона — Галилея и нового экспериментального материала по электромагнитным явлениям завершилась выявлением существенно новых понятий физики поля, опиравшихся на разработанные совсем незадолго до этого векторный анализ и теорию уравнений в частных производных. Наконец, конфронтация программ построения теории механических движений Ньютона и Декарта разрешилась формированием системы понятий классической механики, существенно опирающихся на параллельно разрабатывавшийся Ньютоном (и независимо от него Г. Лейбницем) совершенно новый математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений.

13.2. Математика, математическая истина и теория познания

Альберт Эйнштейн писал: «Весьма примечательно взаимоотношение теории познания и науки. Теория познания без тесного контакта с наукой становится пустой схемой; наука же без теории познания — если это вообще мыслимо — неизбежно становится примитивной и путаной».

Связь науки с теорией познания обусловлена уже тем, что наука является орудием познания. При этом сама специфика познавательной деятельности в значительной мере определяет характерные особенности науки.

Но вернемся к вопросу об отображении действительности с помощью математически предугаданных схем. Эта закономерность характерна не только для науки прошлого. Не менее актуальной она остается и для современной науки. Познание скрытых явлений и сегодня возможно только с помощью догадок — гипотез, которые затем либо находят подтверждение, либо отвергаются.

Предугадывание структуры отражаемого мира — его природы, его закономерностей, является характерной чертой процесса познания не только при исследовании внешнего, по отношению к нам, реального мира, но и при исследовании математической реальности. Разница лишь в том, что объективная физическая реальность существует сама по себе и в процессе познания предугадывается схема, моделирующая эту реальность; математическая же реальность заранее не существует — она создается человеческим разумом. Этот процесс, конечно, не может быть абсолютно независимым от реальной действительности. Он направляется и регулируется такими факторами, как прошлый опыт и требование разумности, целесообразности и непротиворечивости создаваемых конструкций. Но сами создаваемые конструкции в большинстве случаев не имеют непосредственных прообразов в реальном мире, а являются результатом творческой деятельности нашего разума. Примерами таких абстрактных построений могут служить бесконечные множества, всевозможные трансфинитные объекты, четырехмерные и даже бесконечномерные пространства и тому подобное.

В течение двух тысячелетий считалось, что геометрия Евклида является геометрией реального пространства. Поэтому мысль о какой-то другой геометрии не могла даже возникнуть. Камнем преткновения, как мы уже отмечали в главе 3, был только пятый постулат Евклида, который утверждал, что через точку, расположенную вне прямой, можно провести одну-единственную прямую, параллельную данной прямой.

Нам известно, что только в XIX в. три математика (Лобачевский, Больяи и Гаусс) почти одновременно пришли к мысли, что существует какая-то новая геометрия, в которой выполняется утверждение, противоположное пятому постулату. В этой геометрии должны были иметь место и совершенно новые закономерности, существенно отличающиеся от того, что установлено в геометрии Евклида.

Проанализируем в связи с этим понятие математической истины. Вообще истина — адекватное отражение в сознании человека явлений и процессов реальной действительности. Каждая мысль, адекватная отображаемому явлению, объекту и пр., выражает некоторую истину.

Математическая реальность — это воображаемый мир, созданный нашей интуицией, это мир, который реально не существует, или, как теперь принято говорить, существует виртуально.

Существование предметов из реальной действительности является объективным фактом, который может быть подтвержден соответствующим опытом, а существование идеальных предметов, созданных нашим воображением, является всего-навсего естественнонаучной гипотезой.

Природа абстрактных идеальных предметов такова, что они непосредственно не могут быть сопоставлены с какими-либо материальными объектами. Поэтому вопрос о соответствии математического образа чему-то, что на самом деле имеет место, не может быть поставлен, а значит, теряет смысл и обычное понятие истинности. Понятие математической истины должно быть определено как-то по-другому. Это определение сделал в 1931 г. математик и логик Альфред Тарский (1901–1983). Он обобщил понятие истины следующим образом: если в естественном языке истина означает соответствие реальной действительности, то в искусственных логико-математических языках истину следует понимать как выполнимость в соответствующей модели.

Вопрос об истинности математических утверждений свелся к вопросу о непротиворечивости соответствующей теории. Непротиворечивость математических теорий не может быть решена средствами самой этой теории (это следует из второй теоремы Геделя о неполноте арифметической системы). Поэтому непротиворечивость самой арифметики, как одной из математических дисциплин, может быть доказана только с привлечением каких-либо новых, более сильных математических средств, не содержащих в языке арифметики.

Как же обосновать истинность математических утверждений? Выход может быть один. Вместо попыток формального доказательства непротиворечивости математических теорий (как основы истинности этих теорий) должны быть найдены косвенные доводы, подтверждающие нашу веру в непротиворечивость и истинность теорий.

К этим доводам относятся:

1. Интуитивная ясность, убедительность, простота и изящество математических построений.

2. Возможность эффективного использования теории в практических приложениях (как в естественных науках, так и в самой математике).

Проблема природы математической истины и проблема непротиворечивости свелись, таким образом, к проблеме обоснования объективности математического знания. Дело свелось к практике, так как критерием объективности— критерием истинности математических утверждений в этом, более общем смысле, является общественная практика. Но практика является также и критерием полезности научного знания.

В самом деле, так как в математических теориях используются весьма абстрактные понятия, не имеющие никаких конкретных прообразов в реальном мире, то роль практики как критерия истины, как соответствия действительности, весьма незначительна. В этом случае практика принимается, прежде всего, как критерий полезности этих теорий — она становится критерием их эффективности, действенности, результативности.

К пониманию того, что этот критерий фактически устанавливает не столько истинность математических теорий, сколько их полезность, как орудий познания, пришли многие математики. Хаскелл Карри, например, в 1963 году писал: «До какой степени абсолютная надежность присуща математике? Поиск абсолютной надежности был основной мотивировкой для концепции Брауэра (основатель в математике интуиционизма. — Авт.) и Гильберта. Но нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Зачем, скажем, нам так уж нужно быть уверенным в непротиворечивости теорий? Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований. В физике, например, теории всегда гипотетичны; мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно сделать полезные предсказания, и видоизменяем или опровергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя. Именно так происходит и с математическими теориями. Мы принимаем теорию, коль скоро она нам полезна, удовлетворяет некоторым условиям естественности и простоты, разумным для своего времени, и коль скоро известно, что эта теория не введет нас в заблуждение. Мы должны держать наши теории под постоянным наблюдением, чтобы видеть, что эти условия выполнены. Поскольку же оценка полезности теории зависит от ее назначения, можно для различных целей принимать по-разному построенные теории, так что интуиционистская и классическая математики могут существовать».

Об этом же в 1970 году писал русский математик, академик Александр Александров (1912–1999), который указывал, что «…математика сама по себе не может быть ни истинной, ни ложной. Математические теории — это орудия познания, и спрашивать об их истинности бессмысленно, как об истинности трактора».

Эффективность, а не истинность — вот что нужно человеку от математических теорий. Что же касается веры в особую достоверность математического знания, веры в истинность математических теорий, то это всего лишь иллюзия, порожденная, с одной стороны, эффективностью математического знания в приложениях, а с другой — интуитивным ощущением, что эти теории правильные.

Какую бы математическую теорию мы ни рассматривали, необходимое условие ее истинности, полезности, как орудия познания, заключается в том, чтобы эта теория была непротиворечива. Доказать непротиворечивость нельзя, но получить косвенные доводы, подкрепляющие нашу веру в непротиворечивость теории, — это дело вполне реальное, и достигается оно посредством практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова. Причина непротиворечивости арифметики лежит вне математики, в самой математике эта непротиворечивость остается тайной.

Обобщая, можно отметить, что взгляды на математику характеризуются следующими установками, идеями, принципами:

1. Развитие математики невозможно без исследования математикой самой себя.

2. Одним из важных аспектов математических исследований является вопрос о границах вычислительных и конструктивных возможностей логико-математических языков.

3. Математика по своей природе является псевдоэмпирической наукой. Математическая реальность не существует априорно, а создается интуицией.

4. Практическое значение математических теорий состоит в том, что они являются орудиями познания и с успехом используются в прикладных науках. Именно поэтому математику часто называют языком естествознания. Но сама математическая реальность — это результат чрезвычайно абстрактных умозрительных построений, весьма далеких от действительности. Познание объективной реальности идет через абстрактное к конкретному. Поэтому возникновение умозрительных построений — не случайность, а вполне закономерная особенность процесса познания. Познание — это отражение действительности с помощью предугаданной абстрактной схемы.

5. Философским и методологическим фундаментом современной математики может быть только теория по знания (гносеология). Только с позиции этой теории может быть осуществлен действительно объективный и подлинно научный анализ природы математики и математической истины.

13.3. Непостижимая эффективность математики

Нельзя не признать, что полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физически реальных явлений — будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математическая интерпретация того немногого, что доступно наблюдению на атомном уровне, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, — все требует какого-то объяснения.

Согласуется ли природа с человеческой логикой? Почему математика эффективна и при описании тех физических явлений, которые непонятны для нас? Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир основан на математических принципах и соглашаясь со средневековыми представлениями о том, что мир был создан на математических принципах не кем иным, как самим Богом, становится понятным, что во все времена люди видели в математике путь к познанию истин о природе. Гармония мира у средневековых мыслителей была проявлением математической структуры, которой Бог наделил мир при сотворении.

Из философов, убежденных в том, что математика — верный путь к реальности, наиболее влиятельным был французский физик, математик, философ Рене Декарт. Декарт задумался над тем, почему следует верить, что математические конструкции, созданные человеческим разумом, открывают путь к познанию физического мира. Из математических истин, постигаемых разумом независимо от опыта, мы можем с помощью чисто умозрительных рассуждений выводить истины о физическом мире.

Великий немецкий астроном Кеплер также усматривал реальность мира в описывающих его математических соотношениях. Познаваемы лишь те свойства физического мира, которые могут быть выражены с помощью математических понятий и формул. Вселенная математична по своей структуре, и природа действует согласно незыблемым и неизменным законам.

Ньютон также считал, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. Суть того, во что непоколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики и физики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет предсказывать явления природы.

Убеждение в том, что природа основана на математических принципах, в XVIII–XIX веках было прочно, как никогда. Задача математиков состояла в том, чтобы открывать эти принципы и познавать законы, управляющие Вселенной, и сама математика считалась инструментом, как нельзя лучше приспособленным для решения этой задачи.

Развитие нескольких вариантов неевклидовых геометрий Лобачевским, Больяи, Гауссом и Риманом показало, что созданная человеком математика ничего не говорит о природе и имеет мало общего с доказательством существования Бога. Вполне возможно, что в природе не заложено никаких математических принципов. По-видимому, вернее будет сказать, что математика предлагает нам не более чем ограниченный, вполне осуществимый, рациональный план.

Математика была и остается превосходным методом исследования, открытия и описания физических явлений. Даже если математические структуры сами по себе не отражают реальности физического мира, их, тем не менее, можно (пока) считать единственным ключом к познанию реальности. Неевклидова геометрия не только не уменьшила ценности математики, но, напротив, способствовала расширению ее приложений. Роль математики в «упорядочении» окружающего мира и овладении природой, начиная с 60-х годов XIX века, возрастала невероятно быстрыми темпами.

Мы сталкиваемся здесь с явно парадоксальной ситуацией. Область знания, не претендующая более на роль носителя истины, подарила нам прекрасно согласующуюся с повседневным опытом евклидовую геометрию, необычайно точную гелиоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, величественную и всеохватывающую механику Галилея, Ньютона, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона и Лапласа, физически необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Эйнштейна. Все эти блестящие достижения опираются на математические идеи и рассуждения.

В этой связи возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен, которым задался также Эйнштейн: почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами (реальным миром), если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного только размышления, понять свойства реальных вещей?

Эйнштейн осознавал, что аксиомы математики и принципы логики выведены из опыта, но его интересовало, почему следствия, вытекающие из созданных человеком аксиом и принципов, так хорошо согласуются с опытом.

Подобным образом действуют и создатели современных математических моделей. Берется одна из возможных моделей и сверяется с опытом. Если модель оказывается неадекватной, то в нее вносят надлежащие изменения. Тем не менее, возможность вывести из одной модели сотни теорем, хорошо согласующихся с опытом, заставляет задавать себе вопрос о соответствии мысли и мира, ответить на который не так-то легко.

Сейчас часто предлагается и совершенно другое объяснение «эффективности» математики. Оно восходит к великому немецкому философу и космологу Иммануилу Канту. Кант утверждал, что мы не знаем и не можем знать природу. Мы ограничены чувственными восприятиями, но наш разум, наделенный предустановленными структурами пространства и времени, организует эти чувственные восприятия в соответствии с тем, что диктуют присущие ему врожденные структуры. Например, наши пространственные восприятия мы организуем в соответствии с законами евклидовой геометрии потому, что этого требует наш разум. Будучи организованными таким образом, пространственные восприятия и в дальнейшем подчиняются законам евклидовой геометрии.

Великий французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре (1854–1912) предложил еще одно объяснение, в значительной мере выдержанное в духе Канта, хотя уже давно взгляды Пуанкаре получили название «конвенционализм» (соглашение). Пуанкаре утверждал следующее: «Опыт играет необходимую роль в происхождении геометрии; но было бы ошибкой заключить, что геометрия — хотя бы отчасти — является экспериментальной наукой. Если бы она была экспериментальной наукой, она имела бы только временное, приближенное — весьма грубо приближенное — значение. Она была бы только наукой о движении твердых тел. Но на самом деле она не занимается реальными твердыми телами; она имеет своим предметом некие идеальные тела, абсолютно неизменные, которые являются только упрощенным и очень отдаленным отображением реальных тел».

Эйнштейн и Инфельд в «Эволюции физики» также, по существу, приняли точку зрения Канта: «Физические понятия суть свободные творения человеческого разума, а не определены, однозначно внешним миром, как это иногда может показаться. В нашем стремлении понять реальность мы отчасти подобны человеку, который хочет понять механизм закрытых часов. Он видит циферблат и движущиеся стрелки, даже слышит тиканье, но он не имеет средств открыть их».

В своей книге «Философия математики и естественных наук» выдающийся немецкий математик и философ науки XX века Герман Вейль высказал следующее мнение: «В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа». Вейль открыто выступает за то, чтобы рассматривать математику как одну из естественных наук. Математические теоремы, подобно физическим утверждениям, могут быть формально проверяемыми гипотезами.

Выдающаяся группа французских математиков, работавших в XX веке под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, утверждала, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует близкая взаимосвязь. Однако абсолютно неизвестно, какими причинами обусловлена эта взаимосвязь, и вряд ли мы когда-нибудь узнаем. В далеком прошлом математические закономерности выводили из твердо установленных экспериментальных истин, в частности, непосредственно из интуитивного восприятия пространства. Однако квантовая физика показала, что эта макроскопическая интуиция реальности охватывает и микроскопические явления совершенно иной природы, связывая их с математикой, которая заведомо была создана не как приложение к экспериментальной науке. Математику можно представлять как своего рода хранилище математических структур. Некоторые аспекты физической или эмпирической реальности удивительно точно соответствуют этим структурам.

Роль математики в современной физике несравненно шире, чем просто роль удобного инструмента исследования. Новая и новейшая физика — наука не столько механическая, точнее, вовсе не механическая, сколько математическая (например, теория струн, одна из теорий в физике элементарных частиц или физики высоких энергий).

В своей повседневной работе физики используют математику для получения результатов, вытекающих из законов природы, для проверки применимости условных утверждений этих законов к наиболее часто встречающимся или интересующим их конкретным обстоятельствам. Чтобы это было возможным, законы природы должны формироваться на математическом языке.

Разумеется, для формулировки законов природы физики отбирают лишь некоторые математические понятия, используя, таким образом, лишь небольшую долю всех имеющихся в математике понятий.

Так мы приходим к бесспорному и неопровержимому выводу: математика и физическая реальность нераздельны. Математика — поскольку она говорит нам о составляющих физического мира и поскольку наше знание этого мира может быть выражено только в математических понятиях — так же же реальна, как столы и стулья, бумага, на которой мы пишем, ручка и т. д. и т. п..

Резюме

Постоянно углубляющаяся математизация всех разделов физики, впрочем, как и других естественных наук, — норма нашего времени. Введение в них новых, все более абстрактных математических структур — единственный пока что способ придать вновь открываемым и уже известным законам природы достаточно универсальный, всеобщий характер.

Нельзя не признать, что полного соответствия между математикой и физической, химической и биологической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физических и химических реальных явлений — будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математическая интерпретация того немногого, что доступно наблюдению на атомном уровне, в микромире, а также наблюдениям в мегамире, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, либо эволюционные механизмы химических систем, не говоря о сотнях других достижений, — требуют какого-то объяснения.

Согласуется ли природа с человеческой логикой? Почему математика эффективна и при описании тех физических и химических явлений, которые непонятны для нас? Математика была и остается превосходным методом исследования, открытия и описания физических явлений. Даже если математические структуры сами по себе не отражают реальности физического мира, их тем не менее можно считать единственным ключом к познанию реальности. Неевклидова геометрия не только не уменьшила ценности математики, но, напротив, способствовала расширению ее приложений.

Эйнштейн был убежден в том, что созданная человеком математика хотя бы частично определяется реальностью. Если бы даже оказалось, что мир идей нельзя вывести из опыта логическим путем, и что в определенных пределах этот мир есть порождения человеческого разума, без которого никакая наука невозможна, все же он столь мало был бы независим от природы наших ощущений, как одежда — от форм человеческого тела.

Великий Давид Гильберт хотел доказать непротиворечивость математики, но другой великий математик и логик Курт Гедель показал, что арифметика и, как мы теперь стали понимать, вообще всякая достаточно богатая система, неполна; и как бы ни старались усовершенствовать и дополнить ее дедуктивную и аксиоматическую структуру, всегда найдется осмысленное предложение, которое будет недоказуемым и неопровержимым.

Кроме теоремы о неполноте арифметики, Гедель получил еще один результат. Он доказал, что непротиворечивость арифметики или любой другой достаточно богатой системы, не может быть установлена средствами самой этой системы, а тем более средствами еще более узкой финитной математики. Отсюда следовало, что непротиворечивость некоторой системы может быть доказано только путем ее погружения в более развернутую систему, то есть путем использования новых средств, выходящих за пределы первоначальной системы.

По этой причине теорема Геделя устанавливает ограничения на научное знание и может быть использована в качестве одного из критериев науки (научности).