§ 12. Георг Кантор

§ 12. Георг Кантор

Кантор, развивший идеи Больцано далее, пришел к гораздо более интересным результатам. Он дерзко сделал исходным пунктом своих исследований понятие бесконечного множества, бесконечного количества и таким образом обосновал «арифметику бесконечного». Применив понятие порядка к бесконечности, он создал понятие трансфинитного порядкового числа. Мы можем далее не заниматься этой теорией, мы коснемся здесь только следующих отдельных моментов:

1. Кантор определяет бесконечное множество посредством его свойства быть эквивалентным собственной части или, как говорит он, быть со своей частью одной мощности. При этом оказывается, что формально конечное множество можно определить не иначе, как посредством негативного свойства: не быть равной мощности с частью самого себя: это, со своей стороны, означает, что данное множество как раз не является бесконечным. Вследствие этого в логической конструкции арифметики понятие бесконечного и теория множеств должны были бы предшествовать арифметике конечных чисел, логически предшествовать ей, служить ее фундаментом. Понятие бесконечного – это предпосылка в арифметике, так же, как и в геометрии. Более глубокая причина заключается в самой сущности конечного числа. Поскольку ряд конечных чисел с необходимостью продолжается до бесконечности, то, видимо, понятие бесконечности уже должно содержаться в определении конечного числа.

2. Исследования Кантора о понятии предела и континуума привели к результату исключительной важности: континуум не равен по мощности рассчитываемому бесконечному, но в сравнении с ним обладает бесконечно большей мощностью. Итак, существуют, по меньшей мере, две бесконечности![349]

При анализе предела наталкиваются на то, что Кантор называет «точкой скопления». Он определяет ее посредством того факта, что всегда на каком-то расстоянии от данной точки наталкиваются на точку, которая относится к ряду; из этого непосредственно следует, что эти «наиболее сближенные» точки существуют в бесконечном числе и нет еще более близких. Пытаясь установить существенные свойства континуума, Кантор пришел к следующим характеристикам, которые, правда, в отличие от того, что он полагал, и как мы также продемонстрируем, не могут использоваться для «определения» континуума: все точки континуума являются точками скопления, и все точки скопления относятся к единству или к совокупности самого континуума. Говоря научным языком: единство континуума – это единство полной когерентности или плотности. Между какими-нибудь двумя точками одного континуума с необходимостью имеется одна (непрерывная) необходимость в соотношении с другой. Не существует двух точек, которые граничат друг с другом; они отделены друг от друга подобной же бездной бесконечности точек. Здесь дихотомия появляется в последний раз, и здесь мы с ней также окончательно расстаемся. Ведь если здесь, как показано, существует общая для всех математических дисциплин проблема, и трудности, которая она в себе заключает, не суть противоречия, но только парадоксы, то нам нет необходимости учитывать их в позитивном анализе движения. Повсюду, где мы оперируем такими понятиями, как расстояние, прямая, путь, тело, мы находимся в сфере, где проблема Зенона считается разрешенной, поскольку иначе все эти понятия, прямая, путь, расстояние, тело, не имели бы смысла. Эта проблема относится к гораздо более глубокому слою – слою чистой математики. Для измерения, в котором движение вообще принимается в расчет, проблема Зенона уже не существует.