§ 1. Функция аксиом

§ 1. Функция аксиом

Несмотря на то что вавилоняне и египтяне располагали большим количеством информации о затмениях Солнца и Луны, способах измерения земли и построения зданий, расположениях геометрических фигур в порядке симметрии и исчислении с целыми числами и дробями, в общем, считается, что у них не было науки обо всем этом. Идеей науки мы обязаны грекам.

Информация, состоящая из набора изолированных суждений, какими бы достоверными и исчерпывающими они ни были, не является наукой. Телефонный справочник, словарь, поваренная книга или строго упорядоченный каталог товара, проданного в универмаге, могут содержать точное знание, организованное в удобном порядке, однако мы при этом не считаем такие произведения научными трудами. Наука требует того, чтобы наши суждения формировали логическую систему, т. е. чтобы они состояли друг с другом в одном из рассмотренных выше отношений эквивалентности или контра-позитивности. Именно поэтому в данной главе мы продолжаем наше исследование природы доказательства, с тем чтобы прояснить некоторые родовые свойства дедуктивных систем. Мы увидим, что подобное исследование тождественно исследованию природы математики.

Вспомним, что ни одно суждение не может быть доказано экспериментальным методом. Читатель, без сомнения, знаком с теоремой Пифагора, согласно которой в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Без сомнения, ему доводилось доказывать ее в школе. Тем не менее, весьма вероятно, что в любой группе людей с высшим образованием найдется такой, который для доказательства данной теоремы станет использовать транспортир и линейку, с тем чтобы точно начертить нужные прямоугольные треугольники. Можно сказать, что в интересующем нас отношении данный индивид не сделал существенного прогресса по сравнению с методами древнеегипетских исследователей.

Допустим, к примеру, что нам пришлось бы доказывать теорему Пифагора, непосредственно прочерчивая квадраты на трех сторонах прямоугольного треугольника, изображенного на фольге равномерной плотности, затем вырезая их и взвешивая, с тем чтобы убедиться в том, что квадрат гипотенузы весит столько же, сколько и квадраты катетов. Означало бы подобное действие доказательство? Разумеется, нет, ибо мы никогда не можем быть до конца уверенными в том, что фольга имеет одинаковую плотность по всей своей площади, или в том, что вырезанные куски представляют идеальные квадраты. Отсюда следует, что если в ряде экспериментов нам не удастся отыскать идеальное совпадение в весе кусков фольги, то проделанные операции нельзя будет считать свидетельством против позиции, согласно которой идеальное равновесие все же было бы достигнуто, если бы проведенные нами линии были бы идеально прямыми, углы квадрата были бы идеально прямыми, а масса фольги абсолютно равномерной. Логическое доказательство, или демонстрация, как мы уже убедились, заключается в указании на определенное суждение как необходимое следствие других определенных суждений. В доказательстве ничего не утверждается о фактической истинности какой-либо из посылок или их логического следствия.

«Но минутку! – может воскликнуть читатель. – Разве мы не доказываем то, что теоремы в геометрии на самом деле истинны? Разве математика не является самой точной наукой, в которой указывается, что определенное свойство раз и навсегда присуще объектам определенного типа? Если вы рассмотрите любое утверждение в теореме, например в теореме Пифагора, то вы найдете в ней утверждение относительно всех треугольников. Если же вы допускаете, что доказано, что нечто действительно истинно для всех треугольников, то почему вы не соглашаетесь с тем, что мы одновременно устанавливаем «материальную» истинность такой теоремы? Разве слово «все» на самом деле не означает все треугольники?»

В данном протесте, однако, не учитывается то уже упоминавшееся обстоятельство, что логическое доказательство является указанием или проявлением импликаций между набором суждений, называемых «аксиомами», и набором суждений, называемых «теоремами», и что сами по себе аксиомы не доказываются.

Читатель может на это ответить: «Аксиомы не доказываются, потому что они не нуждаются в доказательстве. Их истина самоочевидна. Все могут удостовериться в том, что такие суждения, как «целое больше, чем любая из его частей» или «через две точки можно прочертить только одну прямую», с очевидностью являются истинными. Тем самым они становятся удовлетворительной основой для геометрии, поскольку с помощью них мы можем установить истинность суждений, не являющихся самоочевидными».

В подобной реплике отражен традиционный подход. Вплоть до конца XIX века считалось, что аксиомы являются материальными истинами физического мира и что неопровержимость доказательств зависит от этой присущей им материальной истинности. Тем не менее, в данном видении аксиом смешиваются три различных вопроса:

1. Как устанавливается материальная истинность аксиом?

2. Являются ли аксиомы материально истинными?

3. Являются ли теоремы логическими следствиями ясно сформулированных аксиом?

Данные вопросы необходимо рассматривать по отдельности.

1. Ответ, который обычно дается на первый вопрос, заключается в утверждении о том, что аксиомы являются самоочевидными истинами. Однако данный подход – это всего лишь удобный способ отказа от рассмотрения подлинных трудностей. Во-первых, если под термином «самоочевидность» подразумевать психологическую несомненность, непреодолимый импульс утверждать нечто или психологическую невообразимость каких-либо противоположных суждений, то это не даст нам надежного критерия истинности, и история человеческой мысли является тому хорошим подтверждением. Многие суждения, ранее рассматривавшиеся в качестве самоочевидных, например такие, как «природа не терпит вакуума», «на противоположной точке Земли люди ходят вверх ногами», «любая поверхность имеет две стороны», сегодня считаются ложными. На самом деле каждое из противоречащих друг другу суждений относительно любой предметной области (в том числе и наиболее спорные суждения) в разное время утверждалось в качестве фундаментального и интуитивно ясного суждения, истинность которого, следовательно, считалась самоочевидной. Однако является ли определенное суждение очевидным или нет, зависит от культурного контекста и индивидуальной подготовки, и поэтому суждение, являющееся с очевидностью истинным для одного человека или группы людей, может не являться таковым для другого человека или группы.

Данная точка зрения предполагает наличие у людей способности формулировать общие суждения, относящиеся к фактическому положению дел, просто посредством анализа значения суждения. Однако повторим еще раз, что история человеческой мысли, равно как и анализ природы значения, продемонстрировали, что существует огромное различие между пониманием значения суждения и знанием его истинностного значения. Истинность общих суждений, в которых сообщается о неопределенном количестве эмпирических фактов, никогда не может быть установлена. Следовательно, основополагающей причиной для отрицания того, что истинность аксиом геометрии или любой другой области математики является самоочевидной, является то, что каждая аксиома имеет, по крайней мере, одну значимую противоположную аксиому.

«Однако разве математики не открывают аксиомы на основании наблюдения за поведением материи в пространстве и времени?» – может спросить читатель. «И разве эти аксиомы не являются более достоверными, чем теоремы?»

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно обратиться к древнему различию, проведенному еще Аристотелем, между временным порядком, в котором открывается логическая зависимость суждений, и логическим порядком импликаций между суждениями. Нет сомнения в том, что многие из аксиом математики являются выражением того, что мы считаем истинным относительно избранных частей природы, и что многие прорывы в математике стали возможными, потому что как исследование математика исторически не началась с формулировки ряда аксиом, из которых затем были выведены теоремы. Мы знаем, что многие из суждений, сформулированных Евклидом, были известны за сотни лет до него; и нет сомнения в том, что люди верили в их материальную истинность. Основной вклад Евклида заключался не в открытии дополнительных теорем, а в представлении их в виде частей системы связанных друг с другом истин. Вопрос, который Евклид, должно быть, задавал сам себе, выглядит следующим образом: если даны теоремы о сумме углов треугольника, о подобных треугольниках, если дана теорема Пифагора и прочие теоремы, то каково минимальное число допущений или аксиом, из которых эти теоремы могут быть выведены? В результате данной работы из суждений, ранее считавшихся независимыми друг от друга, была получена геометрия в качестве первой дедуктивной системы. Таким образом, в действительности аксиомы были открыты позднее, чем теоремы, хотя логически они предшествуют последним.

В силу предубеждения довольно часто считается, что логически предшествующие суждения «лучше известны» или «более достоверны», чем теоремы, и что в общем логический приоритет одних суждений по сравнению с другими каким-то образом связан с истинностью этих суждений. На самом же деле аксиомы попросту являются допущениями, или гипотезами, используемыми для систематизации, а иногда и для открытия теорем, которые из них следуют. Из этого вытекает, что для открытия теорем вовсе не требуется знать аксиомы, а также и то, что, как правило, в науке аксиомы являются психологически гораздо менее очевидными, чем теоремы. Как мы увидим, в большинстве наук материальная истинность теорем не устанавливается посредством указания на материальную истинность аксиом. Скорее наоборот: эмпирическое установление истинности или вероятности теорем делает вероятной истинность аксиом.

2. Таким образом, следует признать, что ответ на вопрос о материальной истинности аксиом нельзя получить, основываясь только на логике. Материальная истинность должна быть установлена особой естественной наукой, эмпирически исследующей предметную область тех или иных аксиом. При этом также следует признать и то, что материальная истинность или ложность аксиом не является заботой логика или математика, ибо их интересует только факт выводимости или невыводимости теорем из аксиом. Поэтому важно отличать чистую математику, имеющую дело только с фактами импликации, от прикладной математики, или естественной науки, которая имеет дело также и с вопросами материальной истины.

3. Вопрос о том, являются ли конкретные теоремы логическими следствиями конкретных аксиом, следовательно, должен разрешаться исключительно логическими методами. Это, однако, не всегда так просто, как может показаться на первый взгляд. На протяжении многих сотен лет доказательства, предложенные Евклидом, считались обоснованными, несмотря на то что опирались на ряд неявных предпосылок. С тех времен требования к логической строгости в математическом доказательстве стали более жесткими, и сегодня для исследования вопросов обоснованности в науке требуется серьезная компетентность в логике и специальная техническая подкованность. Более того, в некоторых областях математики обоснованность ряда доказательств до сих пор остается неустановленной.

На данном этапе мы уже можем резюмировать первые полученные результаты относительно природы логической системы. Суждения могут быть доказаны посредством указания на отношения импликации между этими суждениями и некоторыми другими суждениями. Однако не все суждения той или иной системы могут быть доказаны, ибо в противном случае наше доказательство стало бы цикличным. При этом следует отметить, что суждения, являющиеся аксиомами в одной системе, могут быть доказаны в другой системе. Точно так же термины, неопределяемые в одной системе, могут быть определены в другой системе. Таким образом, то, что мы называли чистой математикой, является гипотетико-дедуктивной системой. Ее аксиомы служат в качестве гипотез, или допущений, и имплицируют остальные суждения. В целом, логическое отношение между аксиомами и теоремами является отношением подчиняющего к подчиненному. Если всю геометрию свести к одному суждению, то такое суждение будет условным, а его антецедентом будут именно аксиомы. Однако, как мы увидим, аксиомы также являются важной характеристикой формальной структуры системы, в которой элементами являются теоремы.