§ 4. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ИЗ СУЖДЕНИЙ С ОТНОШЕНИЯМИ
§ 4. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ИЗ СУЖДЕНИЙ С ОТНОШЕНИЯМИ
Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями.
Например:
Петр — брат Ивана.
Иван — брат Сергея.
__________________
Петр — брат Сергея.
Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy, где х и у — понятия о предметах, R — отношения между ними.
Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.
1. Отношение называется симметричным (от греческого simmetria— «соразмерность»), если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношения равенства (если а равно b, то и b равно а), сходства (если с сходно с d, то и d сходно с с), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, и событие у произошло одновременно с событием х), различия и некоторые другие.
Отношение симметричности символически записывается:
xRy ? yRx.
2. Отношение называется рефлексивным (от латинского reflexio («отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а = b, то а = а и b = b) и одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, каждое из них произошло одновременно с самим собой).
Отношение рефлексивности записывается:
xRy ? xRx ? yRy
3. Отношение называется транзитивным (от латинского transitivus — «переход»), если оно имеет место между х и z тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда из отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z.
Транзитивными являются отношения равенства (если а равно b и b равно с, то а равно с), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у и событие у одновременно с событием z, значит, событие х произошло одновременно с событием z), отношения «больше», «меньше» (а меньше b, b меньше с, значит, а меньше с), «позднее», «находиться севернее (южнее, восточнее, западнее)», «быть ниже, выше» и т. п.
Отношение транзитивности записывается:
(xRy ? vRz) ? xRz.
Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила:
Для свойства симметричности (xRy ? yRx): если суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно. Например:
А подобно В.
_____________
В подобно А.
Для свойства рефлексивности (xRy ? xRx ? yRy): если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy. Например:
а = b.
_________
а = а и b = b.
Для свойства транзитивности (xRy ? yRz ? xRz): если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждение xRz также истинно. Например:
К. был на месте происшествия раньше Л.
Л. был на месте происшествия раньше М.
_________________
К. был на месте происшествия раньше М.
Таким образом, истинность заключения из суждений с отношениями зависит от свойств отношений и регулируется правилами, вытекающими из этих свойств. В противном случае заключение может оказаться ложным. Так, из суждений «Сергеев знаком с Петровым» и «Петров знаком с Федоровым» не следует необходимого заключения «Сергеев знаком с Федоровым», так как «быть знакомым» не является транзитивным отношением.
Вопросы для самопроверки
1. Что представляют собой умозаключения из суждений с отношениями?
2. Охарактеризуйте основные свойства отношений: симметричности, рефлексивности, транзитивности.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.