VI

Тарский говорит о больших или меньших дедуктивных системах или классах следствий. Действительно, множество дедуктивных систем (для некоторого языка) частично упорядочено отношением включения, совпадающим с отношением выводимости. Следующее замечание, высказанное Тарским в его работе об исчислении систем, можно использовать как ключ к релятивизации классов следствий, или содержаний, или дедуктивных систем: «среди дедуктивных систем существует наименьшая, то есть являющаяся подсистемой всех других дедуктивных систем. Это система Cn(0)— множество следствий пустого множества. Эта система, которая здесь для краткости будет обозначаться L, может интерпретироваться как множество всех логически верных (valid) предложений (или, в более общем виде, как множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала, когда принимаемся строить дедуктивную теорию, являющуюся предметом... нашего исследования)» [310].

Это наводит на мысль, что мы можем использовать вместо нулевой системы L какую-то другую систему «в качестве множества всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала, когда принимаемся строить, и т.д.». Обозначим, как и ранее, дедуктивную систему, содержанием которой мы интересуемся, переменной "A", а «множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала», переменной "B". Тогда мы можем написать выражение

Cn(А,В)

как релятивизацию (relativization) Cn(А) Тарского, которое является особым случаем при В= L = Cn(0):

Cn(А)=Cn(A,L).

Мы можем писать сокращенно "A,B" вместо "Cn(A,B)", точно так же, как Тарский пишет "A" вместо "Cn(A)".Процитированный отрывок из Тарского подсказывает следующее определение:

Определение: А,В=Cn(А,В) = Cn (A+B) - Cn(B).

А отсюда очевидным образом следует

Теорема:

A=Cn(A)=A,L=Cn(А,L)=Cn(A+L)-Cn(L).

Ограничиваясь относительным способом записи, мы получаем для истинностного содержания

А_Т=AT,L=Cn((А.Т)+L)- Cn(L),

а для ложностного содержания

A_F = A, A_T= Cn(A+ A_T) - Cn(A_T) = Cn(A) - Сп(А_T),

что превращает ложностное содержание в относительное содержание, объем (extension) которого совпадает (как первоначально и предлагалось) с классом всех ложных высказываний в А.