3.2. Философские проблемы математических наук

3.2.1. История формирования философских представлений об объекте и предмете математики. Объект познания – это то, на что направлено внимание исследователя. А направлено оно на сущность вещи. Отсюда возникает понятие «объективное знание» – знание природы объекта.

Не будет преувеличением сказать, что объектом математического знания начиная с Античности становится мир в целом. Все остальные науки изучали отдельные роды сущего (существующего), математика же была знанием в чистом виде, знанием истины как таковой. Этот объект математика сохраняет за собой по сей день, что роднит ее с философией и теологией. Мир как целое представлен в виде системы. Античность выражает системность мира через такие категории как порядок, симметрия, гармония, определенность, мера. Представленная таким образом системность мира и становится объектом математики в строгом смысле слова.

Предмет науки – это та часть объекта, изучая которую, мы сможем раскрыть его природу, решить задачу, поставленную исследованием. В Античности предметом математики становятся числа и геометрические фигуры, которые позволяют выразить и объяснить размерность, определенность, порядок, симметрию, гармонию мира, одним словом, его красоту.

Изменение предмета математики происходит в эпоху Нового времени. Это было связано с возникновением алгебры.

Идеологом алгебры в европейской математике стал Р. Декарт. Не он ее изобрел, но именно он стал систематически применять алгебраические методы решения геометрических задач. Для Античности существовала принципиальная разница между арифметикой, предметом которой было число, и геометрией, предметом которой были геометрические фигуры. Число рассматривалось как чисто идеальный объект, который может быть дан только в мышлении, а геометрические объекты даны не только в мышлении, но и в воображении. В результате Античность приписывала числу более высокий онтологический статус (чистого идеального бытия) и не допускала возможности сведения геометрии к арифметике.

Декарт деонтологизирует математику: неважно, какова природа числа или отрезка, важно, что по отношению к ним можно выполнять одни и те же операции.

Алгебру можно определить как совокупность n-арных операций, определенных на некотором множестве объектов. Математика становится наукой не о числах или геометрических фигурах, предметом математики становятся универсальные операции, применимые к объектам. Математическое мышление приобретает операциональный и инструментальный характер.

В современной математике нет единства в понимании ее предмета. Общей для представителей различных подходов является вера в то, что данная область знания описывает структуру мира. В этом смысле математику можно определить как науку о собрании абстрактных форм – структур. Данные структуры задаются системой аксиом, которые определяют математическое многообразие возможностей опыта. Важно, что одна и та же математическая структура может быть интерпретирована на различных чувственно воспринимаемых моделях. В результате уровень данных структур рассматривается в науке как самый глубокий уровень реальности. При этом все формы движения материи – физическая, химическая, биологическая, социальная, психическая и др. – становятся лишь внешними формами проявления этого глубинного уровня реальности.

Это возвращает нас к сформировавшемуся еще в Античности пониманию математики как науки, объектом которой является изучение структуры мира в предельно общей (идеальной) форме, а предметом – особого рода математические объекты.

Для истории и философии математики важным является вопрос об онтологическом и эпистемологическом статусе математических объектов. В решении этого вопроса в философии математики можно выделить несколько позиций.

Первая приписывает математическим объектам более высокий онтологический статус, чем объектам окружающего мира, и более высокий эпистемологический статус по сравнению с другими категориями познания. Эта позиция явным образом представлена в математике Платона, которая предполагает автономное самостоятельное существование мира общих понятий – идей. Позиция, утверждающая, что общее существует независимо от отдельных вещей, получила в философии название реализма. Чувственно воспринимаемый окружающий мир не может быть предметом познания, т. к. вещи окружающего мира имеют «неправильную» форму, непрерывно меняются и разными людьми воспринимаются по-разному. Чувственно воспринимаемый мир – это мир видимости, иллюзий. Истина доступна не чувственному, а теоретическому познанию, одной из форм существования которого является математика.

Математические объекты обладают особого рода бытием, признаками, которыми не могут обладать объекты чувственного мира.

Во-первых, они являются идеальными, т. е. представляют предельную, чистую форму существования объекта (они идеальны в том смысле, в каком мы говорим: идеальный человек). Если математик в своей работе и прибегает к использованию чертежей, рисунков, схем и наглядных образов, то это для него лишь вспомогательные средства. Его доказательства относятся не к нарисованным фигурам, а к их идеям (идее треугольника как такового, в чистом виде), в результате математика, а вслед за ней и вся наука начинают работать с особого рода идеализированной действительностью.

Во-вторых, математические сущности могут быть объектами лишь особого рода реальности, существующей как бы параллельно с окружающим миром (идеальный человек в окружающем мире не встречается).

В-третьих, математические объекты в силу своей идеальности самотождественны. Невозможно два раза нарисовать абсолютно одинаковую окружность. Но формула позволяет задавать один и тот же объект бесконечно.

В-четвертых, объекты окружающего мира возникают и разрушаются, идеальные математические объекты вечны.

И, наконец, в-пятых, будучи идеальными и самотождественными, они обладают характером общезначимости, т. е. воспринимаются всеми людьми одинаково.

Таким образом, позиция реализма определяет мир математических объектов как действительный мир, как сущность мира эмпирического. Математические структуры, например геометрия Евклида, представляют действительную (идеальную) структуру мира.

Вторая позиция исходит из того, что математические понятия существуют в уме человека. При этом математический язык рассматривается как лучший способ описания мира. Теория, рассматривающая общие понятия как существующие в уме человека, получила в философии название концептуализма.

Таким образом, можно истолковать понимание природы математики в философии Аристотеля. Математические объекты не обладают более высоким онтологическим статусом, чем объекты окружающего мира. Они являются предикатами (признаками) предметов. Они существуют в том же смысле, в каком существует движение. Мы можем сказать, что тело движется и что оно имеет длину и четыре плоскости. Математические понятия существуют не сами по себе, а в уме человека. В то же время математические понятия, по Аристотелю, обладают предельной смысловой наполненностью, а именно красотой. Эта предельная смысловая наполненность является результатом абстрактности математического мышления, которое рассматривает категории, отвлекаясь от их материального носителя.

Отрицая крайности платоновско-пифагорейской традиции, а именно существование самостоятельного мира математических сущностей, Аристотель сохраняет за математикой статус науки, предлагающей наиболее адекватный язык познания.

И наконец, третья позиция исходит из того, что реально существуют лишь единичные чувственные вещи, математические понятия – всего лишь символы, удобные в применении. Это является выражением в математике философского номинализма. Базовые понятия математики вводятся в науку по соглашению. Вопросы о том, что такое точка, прямая, плоскость, являются бессмысленными. Значение имеет то, как эти понятия используются в принятом языке. Математические понятия не имеют никакого самостоятельного существования и не должны отсылать нас к привычным образам, обыденному смыслу терминов или к воображению. Математический язык – это удобный экономный способ описания предметного мира.

3.1.2. Философские проблемы обоснования математики. Вплоть до XIX в. математика оставалась эталоном строгости, доказательности и достоверности научного знания.

Сомнения в достоверности оснований математики возникли в первую очередь в результате разработки неевклидовой геометрии в течение XVIII–XIX вв. Неевклидова геометрия поставила под сомнение абсолютность математических аксиом, идею тождества математической структуры и структуры мира, и показала неясность и необоснованность математики. Важно подчеркнуть, что неевклидовы геометрии (Гаусса, Римана, Лобачевского) не были просто интеллектуальной игрой, они позволяли описывать физическое пространство. Но при этом было очевидно, что они противоречат друг другу и что невозможно установить, какая из этих геометрий истинна.

Ударом для математики стало и обнаружение противоречий в канторовской теории множеств. Противоречивое исчисление, как известно, позволяет доказывать как теорему любое положение. Если математика противоречива, то она бессмысленна.

Проблемы, возникшие в математике, поставили под сомнение достоверность всей науки. Если абсолютных истин нет даже в математике, то есть ли они вообще? И математики в конце XIX – начале XX в. прилагают отчаянные усилия спасти науку. Они пытаются найти некие абсолютно достоверные основания математики, доказать их полноту и непротиворечивость.

Традиционно выделяют следующие направления обоснования математики: логицизм (Г. Фреге, Б. Рассел); интуиционизм (Э. Брауэр, А. Гейтинг); формализм (Д. Гилберт); теоретико-множественный (Э. Цермело, А. Френкель).

Логицисты занимали позицию реализма в понимании онтологического статуса математических объектов. Математика должна быть полностью выведена из логики. Математические теоремы и доказательства позволяют нам выявить то, что в неявном виде содержится в принципах логики. Законы логики логицисты считали априорно истинными. Это давало им основания верить в возможность построения абсолютно истинной математики.

Логицизм вызвал резкую критику в среде математиков, т. к. его сторонники использовали для обоснования математики ряд аксиом (аксиома сводимости, аксиома бесконечности, аксиома выбора), истинность которых вызывала серьезные сомнения. С философской точки зрения, логицизм тоже не выдерживал критики: если вся математика следует из законов мышления, то каким образом с помощью дедуктивного вывода можно получить описание структуры всего бесконечно разнообразного мира?

Интуиционисты были концептуалистами в понимании природы математических понятий. Основатель интуиционизма Брауэр считал, что математика вырастает из природы человеческого разума и вне него не существует. Как продукт человеческого разума она автономна – не зависит ни от опыта, ни от языка, и она должна опираться на интуитивно очевидные понятия. Такими понятиями являются целые числа, сложение, умножение и математическая индукция. Математическое мышление, опираясь на интуитивно очевидные понятия, конструирует истинное описание мира. Логика и опыт нужны тем, кто лишен интуиции. Логика – это определенная форма языка, а язык, по сути, неспособен без искажений представлять мысль. Не математика должна быть основана на логике, а наоборот, логика – на математике. Интуиция (а не логика или опыт) является критерием приемлемости математических положений.

Критика интуиционизма проистекала из того простого факта, что его представителям не удалось сколько-нибудь серьезно продвинуться в построении новой математики и особенно математики, пригодной для практического применения. К тому же они отрицали ряд классических теорем и даже разделов математики, которые не могли обосновать своими методами, что было совершенно неприемлемо для математиков.

Формализм стал выражением номинализма в математике. Математика невыводима из логики, она является автономной научной дисциплиной. Математику следует рассматривать как формальную дисциплину, занимающуюся преобразованием символов безотносительно к их значению. Символы вводятся по соглашению и лишены всякого постороннего, в том числе и интуитивного смысла. Значение символа определяется правилами его использования в системе исчисления. Очевидно, что количество построенных таким образом формальных систем неограниченно, каждая из них имеет свой набор аксиом, свои правила дедуктивного вывода и свои теоремы. Формализм критиковали за то, что он превратил математику в пустую игру символами, лишив математические понятия интуитивно очевидного содержания и реальной связи с материальным миром.

Представители теоретико-множественного направления, так же, как логицисты, были реалистами в решении проблемы онтологического статуса математических объектов. Они видели свою главную задачу в избавлении теории множеств, которую они рассматривали как основание чистой математики, от противоречий. Им удалось аксиоматизировать теорию множеств таким образом, что в ней перестали возникать противоречия. Представителей теоретико-множественного направления критиковали за неясность логических оснований, на которых построена их математика, за произвольность, искусственность и интуитивную неочевидность их аксиом.

Возникновение описанных выше направлений привело к тому, что математика к 30-м гг. XX в. утратила внутреннее единство: разные направления придерживались разных стандартов правильности доказательства теорем. К тому же вышеперечисленные направления, в свою очередь, распались на различные течения, что породило еще большую путаницу в понимании оснований математики.

Ситуация осложнялась и тем, что не были решены проблемы непротиворечивости и полноты математики. Хотя известные парадоксы и получали решения (по-разному в разных направлениях математики), но не было гарантии, что не возникнут новые. Проблема полноты аксиоматических систем сводится к тому, что в рамках принятой системы аксиом должна доказываться истинность или ложность всех осмысленных высказываний для определенной области математики.

В 1931 г. К. Гёдель доказал, что, во-первых, непротиворечивость аксиоматической системы не может быть установлена средствами самой этой системы на основе математических принципов, принятых различными школами в основаниях математики: логицистами, формалистами и представителями теоретико-множественного направления; во-вторых, он доказал теорему о неполноте аксиом, согласно которой, если система аксиом непротиворечива, то она неполна6.

По общему признанию, эти открытия доказывали невозможность полной аксиоматизации научного знания. Любая система аксиом содержит утверждения, истинность которых устанавливается нестрогими методами.

Таким образом, решение проблемы обоснования привело математику к осознанию того, что она не может предложить науке некие абсолютно достоверные (доказанные в некотором абсолютном, строгом смысле слова) основания. Научное знание невозможно полностью формализовать, по крайней мере, на основе известной нам математики.

3.1.3. Математика и естествознание. Связь математики и естествознания возникает в эпоху Нового времени. Это стало возможным благодаря возникновению алгебры, что объясняется следующими обстоятельствами.

Во-первых, как уже было отмечено, для алгебры безразлична природа объекта. В алгебре величины выражаются буквами, последние связываются воедино некоторым уравнением, из которого и нужно найти неизвестную величину. Вместо алгебраических переменных можно подставлять физические, химические, экономические величины. Предметные области разные, а правила вычисления – одинаковые.

Во-вторых, для возникновения математического естествознания важной стала возможность представления функций алгебраическими формулами. Это позволило использовать математику для описания изменения и движения в природе. Идею описания движений с помощью формул выдвинул Галилей. Зная формулы и начальные условия, с помощью чисто алгебраических средств можно извлечь неисчерпаемое количество сведений о движении тела.

Именно алгебраический метод во многом задает характерные черты методологии классической науки, такие как достоверность, простота, механистичность, полнота. Как алгебра стремится к построению алгоритмов вычисления, так и классическое естествознание видит идеал своего метода в построении алгоритма, который позволил бы отличать истинное от ложного и получать новые научные истины без излишней траты умственных сил.

Математика становится универсальным языком науки, внутренней формой ее развития, где форма – это способ организации движения содержания. Именно математика делает научные теории относительно независимыми от эмпирии, а значит, и от множества аномалий, которые окружают каждую теорию. Первые математические модели, возникающие на базе той или иной теории, как правило, слишком просты и поэтому заведомо ограничены. В результате развитие теории происходит в направлении усложнения математического аппарата, способного представлять все более сложные и адекватные модели объектов исследуемой области.

Отличие новоевропейской науки от современной в контексте оценки роли математики заключается в том, что первая рассматривает математику как способ описания окружающего мира, природы, в то время как вторая возвращается в определенном смысле к идеям Античности. Реальность, изучаемая современной наукой, – то, что она считает существующим на самом деле, конструируется средствами математики. Тогда окружающий мир сам по себе в современной науке снова низводится на уровень иллюзий. Пространство окружающего мира кажется нам трехмерным, но современная физика оперирует понятием «конфигурационное пространство» с числом измерений больше трех; нам кажется, что мир состоит из обладающих вещественным субстратом макротел, но современная наука говорит нам, что в мире есть только энергия и движение. Материалистический (субстратно-вещный) реализм новоевропейского естествознания представляется современной науке наивным. Реальность современной науки – это реальность математических структур. И здесь мы снова возвращаемся к вопросу: что же значит быть реальным в математическом смысле слова? Реальность математических понятий, как уже было сказано выше, не определяется их связью с объектами окружающего мира. Мера реальности математических понятий и структур в естествознании определяется, во-первых, возможностью их преобразования в другие понятия и структуры. Так, если мы можем преобразовать геометрию Евклида в геометрию Лобачевского, то это показывает одновременно и ограниченность каждой из них, и меру их реальности. Во-вторых, мера реальности математического исчисления определяется широтой его применения. Чем шире область применения, тем сильнее вера в реальность предложенной математической структуры.

Таким образом, естествознание (в рассматриваемых случаях – физика) так же необходимо современной математике, как и она ему. Естественные науки дают математике область интерпретации, без которой она останется пустой интеллектуальной игрой, и поставляют проблемы, решение которых является одним из основных источников развития математики.

Особенности развития науки второй половины ХIХ и ХХ в. позволяют сделать вывод о том, что подобный характер носит связь математики и с другими подсистемами науки – техническими, социальными, гуманитарными. Так, в области экономических наук еще в середине ХIХ в. К. Маркс в «Капитале» и подготовительных рукописях к нему не только широко использует современный ему аппарат дифференциального и интегрального исчисления, но и задается вопросом об основаниях эффективности математики в других науках. На базе этих исследований были созданы так называемые «Математические рукописи К. Маркса». Почти через столетие итальянский ученый В. Вольтерра пишет работу «Математическая теория борьбы за существование». Сегодня активно разрабатываются такие области знания, как математическая экономика, математическая лингвистика, математическая биология и др. Но принцип использования математики во всех подсистемах науки тот же, что и в физике, он вытекает из особенностей математических структур и понятий, которые могут быть интерпретированы на самом разнообразном материале. Именно поэтому математическое моделирование, математические гипотезы, математическое предвосхищение приобрели в современной науке статус общенаучного метода математизации.

Взаимозависимость математики и технических наук приобретает особый характер с появлением вычислительной математики, которая является наукой, изучающей процессы управления, организации и передачи информации в сложных динамических системах. Существует тенденция отождествления вычислительной математики и кибернетики, в этом случае вычислительную математику определяют как раздел математики, изучающий проблемы, связанные с использованием компьютеров и современных информационных технологий.

У истоков вычислительной математики стоят такие выдающиеся математики, как Н. Винер, К. Шеннон, Дж. фон Нейман, А. Н. Колмогоров и др. Вычислительная математика включает такие разделы, как математическое программирование, исследование операций, теория игр, оптимальное управление, дискретная оптимизация, теория функциональных систем, комбинаторный анализ, теория графов, теория кодирования, управляющие системы, синтез и сложность управляющих систем, эквивалентные преобразования управляющих систем, надежность и контроль функционирования управляющих систем.

Важно отметить, что возникновение вычислительной математики было бы невозможно, если бы математики не обратились к другим областям знания, имеющим дело со сложно организованными системами: биологии, физиологии высшей нервной деятельности, экономике, социологии и др. Именно эти науки дают математике модели для постановки проблем и в определенной степени образцы для их решения. Понятия целенаправленности, целесообразности, оптимальности функционирования системы тоже приходят из этих наук.

В свою очередь, вычислительная математика привела к возникновению новых методов научного исследования, связанных прежде всего с анализом математических моделей. Во всех сферах современной науки возрастает роль моделирования, формализации, алгоритмизации. Это становится возможным при условии чисто функционального определения таких понятий, как жизнь, общество и его подсистемы, мышление и т. п., что предполагает абстрагирование от представлений о материальном носителе информации.

В самой математике это ставит задачи разработки методов решения типовых математических задач, возникающих при анализе математических моделей, а также развитие теории и практики программирования с целью упрощения работы на электронных вычислительных машинах.

Итак, философские проблемы математики обращают нас к фундаментальным основаниям теоретического познания – математика в чистом виде представляет нам способность человека рационально познавать окружающий мир, поэтому она становится предметом интереса не только самих математиков, но и философов, историков, психологов, лингвистов, социологов.