Умозаключения из суждений с отношениями

Умозаключения из суждений с отношениями

Умозаключение, посылки и вывод которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями.

Например:

Андрей – брат Павла.

Павел – брат Сергея.

Андрей – брат Сергея.

Легко убедиться, что это особый вид дедуктивного умозаключения, он не может рассматриваться как простой категорический силлогизм, посылками и заключением которого являются категорические суждения, имеющие субъектно-предикатную структуру. Заключение здесь получено из суждений с отношениями, логическая структура которых выражается формулой аRв.

Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых – симметричность, рефлексивность и транзитивность.

Отношение симметричности. Отношение называется симметричным, если для любых предметов х и у данного класса верно, что если предмет х находится в каком-то отношении к предмету у, то и предмет у находится в этом отношении к предмету х. Таково отношение соседства («Если Иван – сосед Петра, то и Петр – сосед Ивана»), отношение подобия геометрических фигур («Если треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁, то и треугольник А₁В₁С₁ подобен треугольнику АВС»).

Отношение симметричности символически записывается так:

аRв ? вRа.

Отношение рефлексивности. Некоторое отношение, имеющее место среди предметов определенного класса, называется рефлексивным, если каждый предмет этого класса находится в данном отношении к самому себе. Например: рефлексивным является отношение равенства каждого числа самому себе (х = х). Также рефлексивным является отношение тождества мыслей самим себе в процессе правильного рассуждения (А тождественно А).

Отношение рефлексивности символически записывается так:

аRв ? аRа ^ вRв.

Отношение транзитивности. Отношение называется транзитивным, если из наличия этого отношения между предметами х и у, а также между у и z, следует его наличие между х и z. Например: «Москва больше Саратова, Саратов больше Пензы, следовательно, Москва больше Пензы». Этот пример иллюстрирует транзитивность отношения «больше». Однако отношения «любить», «ненавидеть», «зависеть», «владеть» не обладают свойством транзитивности. Поэтому нетранзитивность отношения «любить» в суждениях «Каренин любил Анну», «Анна любила Вронского» не позволяет нам сделать заключение «Каренин любил Вронского».

Отношение транзитивности символически записывается так:

(аRв ^ вRс) ? аRс.