Вычислимость и волновое уравнение

Вычислимость и волновое уравнение

Непосредственно из своих уравнений Максвелл сумел вывести, что в областях пространства, где нет ни зарядов, ни токов (т. е. там, где в приведенных выше уравнениях j = 0, ? = 0) все компоненты электрического и магнитного полей должны удовлетворять так называемому волновому уравнению.[118] Волновое уравнение можно рассматривать как «упрощенный вариант» уравнений Максвелла, так как оно записано для одной-единственной величины, а не для всех шести компонент электрического и магнитного полей. Решения уравнения Даламбера дают пример волнообразного движения без дополнительных усложняющих свойств наподобие «поляризации» в теории Максвелла (направления вектора электрического поля, см. гл. 6 «Спин фотона»).

Волновое уравнение представляет сейчас для нас тем больший интерес, что оно было предметом целенаправленного изучения именно в связи с его свойствами вычислимости. Действительно, Мариану Б. Пур-Элю и Яну Ричардсу (Пур-Эль, Ричардс [1979, 1981, 1982], см. также [1989]) удалось показать, что, даже несмотря на детерминистское (в обычиом смысле) поведение решения волнового уравнения — при котором данные в начальный момент времени однозначно определяют решение во все остальные моменты времени — существуют вычислимые начальные данные некоего «особого» рода, обладающие тем свойством, что для них однозначно рассчитать значения поля в более поздний (вычислимый) момент времени — невозможно. Таким образом, уравнения вполне допустимой физической теории поля (хотя и отличающейся от теории Максвелла, которая действительно «работает» в нашем мире) могут, согласно Пур-Элю и Ричардсу, породить невычислимую эволюцию!

На первый взгляд это кажется весьма удивительным результатом, который вроде бы противоречит тому, о чем я говорил в предыдущем разделе относительно возможной вычислимости «разумных» гамильтоновых систем. Однако, несмотря на то, что поразительный результат Пур-Эля — Ричардса исполнен, несомненно, глубокого математического смысла, он все же не противоречит высказанной выше гипотезе — причем по причине, имеющей глубокий физический смысл. Причина же эта состоит в том, что начальные условия «особого» рода не относятся к «плавно изменяющимся»[119], а именно это свойство обычно требуется от каждого поля, имеющего физический смысл. Пур-Эль и Ричардс в действительности доказали, что невычислимость не может возникнуть в случае волнового уравнения, если мы не будем рассматривать поля «особого» рода. С другой стороны, даже если бы такие поля считались допустимыми, было бы трудно понять, как может использовать подобную «невычислимость» любое физическое «устройство» (например, головной мозг человека)? Она могла бы иметь существенное значение только при наличии возможности производить измерения со сколь угодно высокой степенью точности (которые, как я объяснял выше, нереальны с физической точки зрения). Тем не менее, результаты Пур-Эля— Ричардса открывают интригующую область знания, которая до сих пор остается практически нетронутой.