3.9. Непосредственные умозаключения традиционной логики
3.9. Непосредственные умозаключения традиционной логики
Основываясь на исчислении высказываний, можно теперь лучше понять не только механизм непосредственных дедуктивных умозаключений, но и упростить обращение с ними. Такие умозаключения состоят всего из одной посылки, и поэтому вывод из нее получить весьма просто.
В качестве первого шага рассмотрим отношения между суждениями, которые могут быть представлены как вершины логического квадрата (рис. 8). Обозначим буквой А общеутвердительные суждения (начальная буква греч. Слова affirmo - утверждать), общеотрицательные суждения обозначим буквой Е (первая гласная буква в слове (nego - отрицать), буквой О обозначим частноотрицательные суждения (вторая гласная в слове (nego) и буквой I- частноутвердительные суждения (вторая гласная в слове affirmo). Пользуясь таким квадратом, можно установить различные логические отношения между перечисленными суждениями и выводить частные суждения из общих. Соответственно этому между общими и частными суждениями устанавливается отношение подчинения, которое изображается вертикальными сторонами квадрата. Общеутвердительное и общеотрицательное суждения связаны отношением контрарности (противности), которое изображается верхней горизонтальной стороной квадрата. Каждое из этих общих суждений может быть получено путем логического отрицания другого. Частноотрицательное и частноутвердительное суждение связаны отношением субконтрарности, которое представлено нижней горизонтальной стороной квадрата. Диагонали логического квадрата связывают общеутвердительное суждение с частноотрицательным и общеотрицательное с частноутвердительным суждением.
Обратимся теперь к рассмотрению непосредственных дедуктивных умозаключений традиционной логики.
Превращение является непосредственным выводом, в котором заключение получается путем изменения качества посылки. Если посылка - утвердительное суждение, то в результате превращения оно становится отрицательным суждением. Отрицательное суждение, наоборот, превращается в утвердительное. Например, суждение "Все металлы - проводники электричества" превращается в отрицательное "Ни один металл не является неэлектропроводным". В нашем примере общеутвердительное суждение становится общеотрицательным, что можно представить схемой:
Все А есть В.
________________________
Ни одно А не есть не-В.
Подобным же образом частноутвердительное суждение превращается в частноотрицательное по схеме:
Некоторые В есть С.
Некоторые В не есть не - С.
Аналогично происходит превращение общеотрицательных суждений в общеутвердительные и частноотрицательных - в частноотрицательные, как видно из следующих схем:
Ни одно А не есть В.
_______________________
Все А есть не-В.
Некоторые В не есть С.
________________________
Некоторые В есть не-С.
Как нетрудно заметить, умозаключения во всех этих случаях основываются на законе двойного отрицания и взаимосвязи между кванторами "все" и "некоторые", о которых речь пойдет в следующей главе. Здесь же заметим, что двойное отрицание оставляет качество суждения неизменным. В языковом выражении суждения одно из отрицаний становится отрицанием предиката, поэтому для проверки правильности превращения утвердительного суждения в отрицательное достаточно представить их в символической форме.
Обращение представляет собой такой вид непосредственного умозаключения, в котором вывод получается путем перестановки предиката посылки на место субъекта, а субъекта - на место предиката. При этом в общем случае происходит уточнение количества суждений. Так, суждение "Все кролики - млекопитающие" обращается в суждение "Некоторые млекопитающие - кролики", поскольку класс млекопитающих гораздо больше подкласса кроликов. Этот вывод мы получаем на основе знания содержания высказываний. Но можно абстрагироваться от этого содержания, заметив, что предикат в таких умозаключениях является распределенным, и потому составляет лишь часть объема субъекта:
Все S есть Р.
____________________
Некоторые Р есть S.
Другой вид обращения, называемый иногда "чистым", происходит тогда, когда объемы субъекта и предиката совпадают. С такими случаями мы встречаемся при определении понятий. Так, в суждении "квадрат есть равносторонний прямоугольник" объемы субъекта и предиката одинаковы, так как объемы определяемого и определяющего понятий должны быть соразмерными (см. гл.2).
Противопоставление предикату - такой вид непосредственного умозаключения, в котором субъектом вывода служит понятие, противоречащее предикату. Например, суждению "Все параллельные на плоскости не пересекаются" противопоставляется суждение "Все непараллельные линии пересекаются". Такой вид умозаключения, как мы уже знаем, можно представить в виде контрапозиции условных высказываний:
(S ? P) (¬Р ? ? ¬S).
Как видно из сказанного выше, некоторые виды непосредственных умозаключений традиционной логики, такие, как контрапозиция, превращение, легко переводятся на символический язык исчисления высказываний. Но уже операция обращения, когда приходится анализировать структуру связи между субъектом и предикатом и вводить кванторы общности и существования, не допускает перевода на простой язык исчисления высказываний, в котором высказывания рассматриваются как единое целое и анализируются лишь с точки зрения их истинности и ложности. В связи с этим и возникает необходимость исследования логической структуры суждений как атрибутивных, так и реляционных, характеризующих отношения между предметами. Одновременно с этим для количественной характеристики суждений должны быть введены кванторы общности и существования.
Тем не менее представление суждений в виде высказываний, лишенных внутренней структуры и оцениваемых в целом как истинные и ложные, играет существенную роль в построении самой логики. Во-первых, некоторые простейшие виды рассуждений или умозаключений можно свести к исчислению, опирающемуся только на оценку истинностного значения высказываний. Во- вторых, такой подход является весьма полезным с методической точки зрения, ибо опираясь на него, можно по аналогии строить более сложное исчисление предикатов, в котором учитывается внутренняя логическая структура суждений. В-третьих, исчисление высказываний при таком подходе можно рассматривать, с одной стороны, как исходную базу для построения исчисления предикатов, а с другой - как частный случай исчисления предикатов. Наконец, в-четвертых, новое исчисление предикатов охватывает не только классическую логику с субъектно-предикатной структурой суждений, но позднее возникшую логику отношений.
Проверьте себя
1. Какие из перечисленных ниже предложений выражают суждения?
1) Кто сегодня дежурный.
2) Иванов - дежурный.
3) Сперва подумай, а потом отвечай.
4) Можно ли правильно ответить, не подготовившись к занятию?
5) Человека узнают не по речам, а по делам.
2. Определите качество и количество следующих суждений.
1) Один в поле не воин.
2) Кит не рыба.
3) Ромб - равносторонний параллелограмм.
4) Три девицы под окном пряли поздно вечерком.
5) Большинство студентов своевременно сдают зачеты.
6) Несколько дней он был болен.
3. Какие из следующих выражений будут функциями-высказываниями:
1) х - адвокат.
2) х + 5 = 12.
3) х >3.
4) 7 >5.
5) х - брат Миши; Георгий брат Миши.
6) Точка В лежит между точками А и С.
7) Точка Х находится левее точки А.
8) Кто-то вошел в дом; х причина у.
9) Утечка газа - причина взрыва.
4. Переведите следующие предложения на символический язык, обозначив каждое простое суждение буквой, а сложное суждение - формулой. Определите, какие из полученных формул выражают конъюнкцию, а какие дизъюнкцию.
1) "Долго ль мне гулять на свете то в коляске, то верхом, то в кибитке, то в карете, то в телеге, то пешком" (А. С. Пушкин).
2) "Однажды лебедь, рак и щука вести с поклажей воз взялись" (А. И. Крылов)
3) Знание и ремесло человека красят.
4) "Вот оно что, петушок красный гребешок, - сказал осел, - эх, ступай-ка ты лучше с нами, мы идем в Бремен, - хуже смерти все равно ничего не найдешь; голос у тебя хороший, и если мы примемся вместе с тобой за музыку, то дело пойдет на лад" (Братья Гримм).
5. Почему конъюнкцию опровергнуть легче, чем дизъюнкцию? Обоснуйте свой ответ и приведите примеры.
6. Переведите условные предложения на символический язык.
1) "Еще бы ты более навострился, когда бы у него немножко поучился" (И. А. Крылов).
2) "Заяц, ежели его бить, спички может зажигать" (А. Чехов).
3) Назвался груздем - полезай в кузов.
4) Диаметр делит круг пополам.
5) Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
7. С помощью таблиц истинности определите истинностное значение следующих формул:
1) (А ? В) ? В;
2) ¬(Л v 5);
3) (А ? В) v В; А v (¬5 ? В).
8. Являются ли эквивалентными следующие формулы:
1) (х ? у) и (¬у ? ¬х); ¬(х v у) и (¬х ? ¬у);
2) (х ? у) и (у ? х; ¬х и (¬(¬х).
9. С помощью таблиц истинности проверьте, являются ли тавтологиями следующие формулы:
1) (А v В) ? А;
2) (А ? В) ? (¬A v B);
3) (А ? В) ? (В ? А); А v А; А v В.
10. Является ли конъюнкция (А ? В) ? (А ? ¬В) противоречием?
11. Чем отличаются фактуальные высказывания от тавтологий и противоречий? Определите, какие из формул являются тавтологиями, противоречиями и фактуальными (эмпирическими) суждениями?
1) А ? А; (А v В);
2) А v ¬B;
3) (А ? В) ? (В ? ¬А);
4) (А В) (В ? А);
5) А ? А.
12. Как определить, следует ли формула исчисления высказываний В из формулы А1 Приведите примеры.
13. Проверьте правильность вывода в следующих формулах:
1)
14. Если возможно, то сделайте обращение следующих суждений
1) Все кошки - млекопитающие.
2) Все прямоугольники - четырехугольники.
3) Все квадраты - равносторонние прямоугольники.
4) Некоторые студенты не изучают логику.
5) Некоторые студенты - спортсмены.
15. Какое различие существует между обращением таких суждений?
1) Все треугольники - геометрические фигуры.
2) Все равносторонние треугольники равноугольны.
16. С помощью логического квадрата установите отношение между следующими простыми суждениями:
1) Все студенты изучают логику.
2) Некоторые студенты не изучают логику.
3) Все люди эгоистичны.
4) Ни один человек не эгоист.
5) Не все люди пишут грамотно.
6) Не все люди знают логику.
7) Некоторые из них знают логику.
17. Чем отличается логическая структура суждения от грамматической структуры предложения? Приведите пример распространенного повествовательного предложения и выделите в нем субъект, предикат и связку.
18. Определите вид модальности в следующих суждениях:
1) Возможно, что существует разумная жизнь во Вселенной.
2) Вероятность снегопада летом весьма мала.
3) Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4) Сегодня солнечный день.
5) Вы должны пойти на лекцию.
6) Мы обязаны сдавать зачеты.
7) Достоверно известно, что его там не было.
8) Никогда не нарушайте правила движения.
19. Чем отличается грамматическая условная связь импликации в логике?
20. Определите, какую смысловую связь выражают следующие условные предложения:
1) Если идет ток по проводнику, то он нагреется.
2) Если диаметр перпендикулярен к хорде, то он делит ее пополам.
3) Если число делится на 2, то оно не простое.
4) Если вы не знаете логики, то вам трудно будет обнаружить ошибку в рассуждении.
21. Чем отличаются с логической точки зрения связь причины и следствия (действия); основания и следствия? Приведите примеры.
22. Что необходимо сделать, чтобы перевести предложения естественного языка на язык логики? Является ли такой перевод адекватным?
23. Как можно построить аксиоматическую теорию для исчисления высказывания?
24. Какие преимущества процесс логического вывода и доказательства имеет перед табличным способом определения истинностного значения сложных высказываний?