6. Язык логики предикатов

Логика высказываний не анализирует внутреннюю структуру простых высказываний. Они берутся как неразложимые далее атомы, из которых с помощью связок образуются сложные высказывания.

Логика предикатов — основной раздел современной логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний.

Логика предикатов является расширением логики высказываний: все законы логики высказываний являются также законами логики предикатов, но не наоборот. В этом смысле логика высказываний более фундаментальна, чем логика предикатов.

Предикат — это языковое выражение, обозначающее какое-то свойство или отношение. Предикат, указывающий на свойство отдельного предмета, например, "быть зеленым", называется одноместным. Предикат, обозначающий отношение, называется двухместным, трехместным и т. д. в зависимости от числа членов данного отношения. Например, "любит" — двухместный предикат, "находится между" — трехместный.

В современной логике предикация рассматривается как частный случай функциональной зависимости. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Например, выражение"…есть зеленый" (или "х есть зеленый") является функцией от одной переменной, "… любит… " ("х любит у") — функция от двух переменных и т. д. Эти выражения превращаются в высказывания при соответствующей подстановке имен вместо переменных.

В логике предикатов — в дополнение к средствам логики высказываний — вводятся логические операторы ("для всех") и ("для некоторых", или "существует"), называемые кванторами общности и существования соответственно. Для выявления субъектно-предикатной структуры высказываний вводится бесконечный перечень индивидных переменных: х, у, z…, х¹, у¹, z¹…., представляющих различные объекты, и бесконечный перечень предикатных переменных: Р, Q, R…, Р¹, Q^l, R¹…, представляющих свойства и отношения объектов. Индивидные переменные принимают значения в произвольной (непустой) области; наряду с этими переменными могут вводиться индивидные константы, или имена собственные.

Запись (x) Р(х) означает "Всякий х обладает свойством Р", (х) Р(х) — "Некоторые х обладают свойством Р", (x) Q(x, у) — "Существует х, находящийся в отношении Q с у" и т. п.

Формула логики предикатов называется общезначимой, если она истинна в каждой интерпретации, в каждом приписывании содержательного смысла входящим в нее символам. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В логике предикатов, в отличие от логики высказываний, нет эффективной процедуры, позволяющей для произвольно взятой формулы решить, является ли она общезначимой или нет.