4. Полная индукция и математическая индукция
Наряду с неполной индукцией принято выделять в качестве особого вида индуктивного умозаключения полную индукцию.
Ее схема:
А1 есть В, А2 есть В…, Аn есть В;
Никаких А, кроме А1…, Аn, нет;
Следовательно, каждое А есть В.
Здесь в посылках о каждом из предметов, входящих в рассматриваемое множество, утверждается, что он имеет определенное свойство. В заключении говорится, что все предметы данного множества обладают этим свойством.
К примеру, учитель, читая список учеников какого-то класса, убеждается, что названные им ученики присутствуют. На этом основании учитель делает вывод, что присутствуют все ученики.
В полной индукции заключение с необходимостью, а не с некоторой вероятностью вытекает из посылок. Эта "индукция" является, таким образом, разновидностью дедуктивного умозаключения, хотя по внешней форме, по ходу мысли напоминает неполную индукцию.
К дедукции относится и так называемая математическая индукция, широко используемая в математике.
Умозаключение математической индукции слагается из двух посылок и заключения. Первая из посылок говорит, что рассматриваемое свойство присуще первому предмету рассматриваемого ряда. Вторая посылка утверждает, что если это свойство есть у произвольного предмета данного ряда, то оно есть и у непосредственно следующего за ним предмета. Заключение утверждает, что свойство присуще каждому предмету ряда.
Общая схема математической индукции:
A(1);
если А (k), то A (k + 1);
следовательно А (n).
Ни полная, ни математическая индукция не являются индуктивным умозаключением в собственном смысле этого слова. И та, и другая всегда дают истинные заключения из истинных посылок и только внешне напоминают индуктивные рассуждения.