* **

^**^*

Математическая логика, по крайней в основной, «классической», ее части, охватывающей обычное двухзначное исчисление высказываний и исчисление предикатов, носит объемный характер. В ней справедлив так называемый принцип объемности, согласно которому два предиката (свойства или отношения) не различаются, если они имеют один и тот же объем. Этот принцип получил четкую формулировку после того, как Фреге ввел в логику представление о предикатах как о логических функциях, т. е. функциях, относящих предметам (двойкам, тройкам и т. д. предметов) рассматриваемой предметной области истинностные значения – истину или ложь^[45]. В объемной логике предикат считается заданным, если указан его объем, т. е. в какой-либо форме сообщено, каким предметам (парам, тройкам и т. д. предметов) рассматриваемой предметной области предикат относит «истину». Поэтому оказывается возможным просто отождествить свойства с множествами предметов, а отношения – с множествами пар, множествами троек и т. д. предметов. Свойства и отношения, рассматриваемые таким образом, можно называть свойствами и отношениями в объемном смысле. В математике объемный подход полностью себя оправдывает. Хорошо известно, что средств объемной, теоретико-множественной логики достаточно для обоснования большей части современной математики.

Естественно поставить вопрос: какой характер носило построенное Фреге логическое исчисление, пользуясь средствами которого выдающийся немецкий логик предпринял обоснование арифметики [3 и 4], действовал ли в исчислении Фреге тезис объемности? Исчисление Фреге носило объемный характер. Если два предиката (две логические функции) ?(x) и ?(x) для любого аргумента принимают одно и то же значение, то мы можем, утверждает Фреге, превратить всеобщность этого равенства в равенство объемов, которые соответствуют этим предикатам. «На эту возможность следует смотреть как на логический закон, которым, впрочем, хотя и молчаливо, мы всегда уже пользовались, когда речь шла об объемах понятий. На нем в общем и целом и основано лейбницево-булевское логическое исчисление» [3, стр. 14). При этом следует особо подчеркнуть то, что объем понятия (т. е. класс предметов, для которых данная логическая функция принимает значение «истина»)^[46] Фреге считает особым логическим предметом (подобным двум истинностным значениям).

Известно, что иной формой принципа объемности является лейбницевская аксиома равенства. Она гласит, что два предмета равны, если, и только если, всё, что верно относительно одного предмета, верно и относительно другого предмета, и наоборот. Эту аксиому можно выразить и в виде правила (будем называть его правилом Лейбница) которое читается так: если p равно q, то в любом предложении ?, содержащем p, последнее можно заменить (во всех или некоторых местах предложения ?, где встречается p) на q, и при этом истинность высказывания не изменится; наоборот, если такая замена p на q возможна в любом предложении ?, то p равно q ([21], стр. 91-92 и примечание редакции на стр. 293)^[47].

Так как объемы выступают в качестве предметов, то они подпадают под это правило. Это значит, что если про некоторый класс А что-то сказано, то это можно повторить и про класс В в случае, если А совпадает с В. Но «сказать» про класс А можно не только при помощи оборота «класс А», но также употребив понятие того свойства, которое определяет данный класс. Про класс людей можно нечто высказать, не только употребив выражение «человечество», но и прибегнув к понятию «человек» (т. е. к понятию о свойстве быть человеком). Известно, что один и тот же класс может определяться различными свойствами. Из правила Лейбница следует, что понятия о свойствах и отношениях, определяющие один и тот же класс, т. е. равнообъемные понятия, можно заменить друг другом. Например, понятия о прямой, соединяющей вершину равностороннего треугольника с серединой противоположной стороны, и о прямой, делящей угол равностороннего треугольника пополам, равнообъемны. Поэтому, по правилу Лейбница, их можно заменить друг другом в любом предложении. Так, из истинного предложения (17) «Прямые, соединяющие вершины равностороннего треугольника с серединами противоположных сторон, пересекаются в одной точке» получается истинное предложение

(18) «Прямые, делящие пополам углы равностороннего треугольника, пересекаются в одной точке».

Равнообъемные понятия не отличаются друг от друга именно в том смысле, что они взаимозаменяемы в любом предложении рассматриваемой науки^[48]. В этом – и только этом! – смысле понятия, имеющие один и тот же объем, отождествляются; в этом – и только в этом! – смысле можно сказать, что понятия, которым соответствует один и тот же класс предметов, можно отождествить с этим классом^[49].

Нетрудно, однако, обнаружить контексты, в которых замена равнообъемных понятий друг другом из истины будет порождать ложь. Так, если справедливо, что

(19) «NN знает, что прямые, соединяющие вершины равностороннего треугольника с серединами противоположных сторон, пересекаются в одной точке»,

то из этого вовсе не следует истинность предложения:

(20) «NN знает, что прямые, делящие углы равностороннего треугольника пополам, пересекаются в одной точке». Действительно, если предложение (19) верно, это отнюдь не гарантирует справедливости предложения (20), ибо NN. зная то, о чем говорится в первом предложении, вполне может не знать того, о чем говорится во втором. Мы видим, таким образом, что существуют особые – по выражению Квайна [27], «мутные» -контексты, в которых правило Лейбница нарушается.

Фреге сформулировал в некотором смысле более общий принцип, чем правило Лейбница, ? правило замены равнозначным. Правило Фреге касается замены выражений, входящих в состав сложных имен. Введение понятия истинностного значения, а также представления о предложениях, как об именах истины или лжи, привело к тому, что правило Лейбница оказалось частным случаем правила Фреге. Правило Фреге для случаев, когда заменяемое имя входит в состав предложения, совпадает с правилом Лейбница.

Мы знаем, что по теории Фреге правило замены равнозначным действует во всех контекстах без изъятия; для обнаружения этого действия надо только правильно логически проанализировать, истолковать соответствующее выражение. Действует это правило и в том «мутном» – или, как иначе говорят, «интенсиональном», «необъемном» – контексте, который мы рассматривали выше, так сказать, «проясняя» его.

В (19) и (20) мы имели косвенную речь, а выражения в косвенной речи имеют косвенное значение. Поэтому мы не имеем права рассматривать выражения

10)«прямые, соединяющие вершины равностороннего треугольника с серединами противоположных сторон›

11)«прямые, делящие пополам углы равностороннего треугольника»

как равнозначные, так как в данном контексте они обозначают не объемы понятий, а их смыслы, т. е. то, что можно назвать свойствами в необъемном смысле^[50]. Фрегевский принцип замены применим и к свойствам в необъемном смысле. Выражение 10) в составе предложения (19) может быть заменено выражением, обозначающим то же свойство в необъемном смысле, например, выражением «медианы равностороннего треугольника» (предполагается, что медиана, по определению, есть прямая, соединяющая вершину треугольника с серединой его противоположной стороны).