§ 2. Математика, или исчисление, вероятности

§ 2. Математика, или исчисление, вероятности

Современное изучение вероятности началось, когда шевалье де-Мере, известный картежник XVII века, поинтересовался у своего друга, праведного Паскаля, как лучше делать ставки при игре в кости. С тех пор основное количество дискуссий относительно вероятности посвящено вопросам, на которые можно дать ответ в нумерической форме: какова вероятность выпадения решки три раза из четырех бросков? Какова вероятность выпадения на костях семерки при одном броске? Такого рода проблемы, равно как и более сложные, исследовались математиками. На сегодняшний день практически в каждой области физики и в некоторых областях химии и биологии требуется использование исчисления вероятности. Мы же подробно исследуем более простые вопросы вероятности и поговорим о том, чем ограничивается математический подход.

Начнем с ограничений. Математика – это дисциплина, изучающая необходимые следствия из любого множества допущений. При таком понимании математика не имеет дела с истинностью или ложностью тех оснований, следствия которых она изучает. В этом отношении логика и математика неразличимы.

Из сказанного следует, что ни одна чисто математическая теория не может определить степень вероятности истинности любого суждения, которое связано с конкретными положениями дел. Она может определить вероятность истинности суждения, когда в явной форме предложены определенные допущения относительно этого суждения. Математика может показать нам, каковы необходимые следствия этих допущений, но она не может определить истинность или ложность самих этих допущений. Следовательно, теория вероятности может быть чисто математической, только если она ограничивается вопросами необходимого вывода. Это имеет место, если рассматривать теорию вероятности как часть чистой математики. Мы коротко рассмотрим элементарные теоремы этой теории потому, что такой подход уже стал традиционным, а также потому, что в использовании теорем исчисления вероятности проявляется природа научного метода.

Начнем с очень простой задачи. Что понимается под «математической вероятностью» выпадения орла при бросании монеты? Воспользуемся общепринятой терминологией. Вместо того чтобы говорить о вероятности истинности суждения «эта монета упадет орлом вверх», мы будем говорить о вероятности события выпадения орла. «Орлом» и «решкой» называются возможные события, или возможные альтернативы. Если мы заинтересованы в выпадении орла, то орел считается благоприятным событием, все остальные события – неблагоприятные. Математическая вероятность определяется в таком случае как отношение, в котором числителем является количество возможных благоприятных событий, а знаменателем – общее количество возможных событий (т. е. сумма благоприятных и неблагоприятных событий), с учетом того что все возможные события равновероятны. Таким образом, если монета имеет 2 стороны и может упасть только на них, демонстрируя тем самым орла или решку, и если выпадение сторон равновероятно, то вероятность выпадения орла будет ? Вообще если f – число благоприятных событий, а u – число неблагоприятных событий, и если события являются равновероятными, то вероятность благоприятного события определяется как f / ( f + u ). Очевидно, что такая дробь всегда будет правильной и что ее значением будут величины от 0 до 1 включительно.

Вероятность, равная 0, означает, что событие невозможно; вероятность, равная 1, означает, что оно произойдет с необходимостью.

Условие равновероятности событий имеет фундаментальную важность, но дать ему определение крайне сложно. Данное условие становилось источником серьезных ошибок, некоторые из которых мы рассмотрим ниже. В общем смысле, речь идет о том, что одно возможное событие должно происходить так же часто, как и другое. При этом нередко считается, что два события являются равновероятными, если мы не знаем причины, почему должно произойти одно из них, а не другое. Тем не менее, какими бы ни были сложности в установлении равновероятности набора возможных событий, поиск критериев равновероятности не входит в задачу математика, поскольку математик имеет дело с необходимыми следствиями такого допущения, безотносительно того, истинно оно или нет. Важность этого условия станет ясной, если мы зададимся вопросом о вероятности выпадения шестерки на игральной кости. Мы можем рассуждать следующим образом: существует две возможности: выпадение шестерки и выпадение чего-то другого; одна из возможностей является благоприятной, следовательно, вероятность равна ?. Однако данный ответ может оказаться ложным, если мы не сделаем допущения о том, что данные две альтернативы являются равно возможными. Это материальное допущение, как правило, не делается, поскольку считается, что возможность выпадения чего-то другого, кроме шестерки, состоит из пяти дополнительных альтернатив (выпадение единицы, двойки и т. д.), каждая из которых является равновероятной с выпадением шестерки. Следовательно, если все шесть сторон считаются равновероятными, то вероятность выпадения шестерки равна ?.

Основная задача исчисления вероятности заключается в определении вероятности комплексного события на основании знания о вероятности составляющих этот комплекс событий. Два события считаются независимыми, если наличие или отсутствие одного не оказывает никакого влияния на наличие другого. Утверждение о том, что два события на самом деле независимы, является материальным допущением, которое следует формулировать в явной форме. Много серьезных ошибок происходит из применения исчисления вероятности в тех случаях, когда независимость событий предполагается без достаточных на то оснований или когда данное условие вообще игнорируется.

Вероятность совместного появления событий

Какова вероятность того, что орел выпадет два раза, если бросить монету тоже два раза? Это событие является сложным, а его компоненты – это орел при первом броске и орел при втором. Если данные события независимы, и если вероятность выпадения орла в каждом случае равна равна ? то, согласно исчислению вероятности, вероятность совместного появления событий (выпадения орла при двух бросках) является произведением вероятности выпадения орла при каждом из бросков, т. е. ?? ? или ? Мы сможем увидеть, почему данный результат является необходимым следствием сделанных допущений, если пронумеруем все события, являющиеся возможными при двух бросках монеты. Так, мы получаем: ОО, ОР, РО, РР , где порядок букв в каждой из групп обозначает одну возможную последовательность выпадения орла и решки. Таким образом, получается, что при сделанных допущениях имеется 4 равновероятные возможности и только одна, ОО , является благоприятной. Следовательно, согласно полученному результату, вероятность выпадения двух орлов равна ?. Вообще, если а и Ь являются двумя независимыми событиями, то Р ( а ) – вероятность первого события, Р ( b ) – вероятность второго, а вероятность их совместного наличия – Р ( ab ) = Р ( а ) ? Р ( b ).

При вычислении вероятности сложных событий необходимо проявлять внимание к тому, чтобы перечислить все возможные альтернативы. Если нам нужно установить вероятность выпадения по меньшей мере 1 орла при двух бросках монеты, то перечисление альтернатив дает 3 благоприятных события. Следовательно, вероятность получения по меньшей мере 1 орла равна ? Видные ученые допускали ошибки вследствие того, что не учитывали все возможные альтернативы. Например, согласно Д?Аламберу, вероятность выпадения по меньшей мере одного орла равна ? О н перечислил возможные события как О, ОР, РР , утверждая, что если орел выпадет с первого раза, то нет необходимости продолжать броски, с тем чтобы получить, по крайней мере, одного орла. Однако данный анализ ошибочен, поскольку перечисленные им возможные события не являются равновероятными: первая альтернатива заключает в себе возможность двух различных событий, являющихся равновероятными с остальными.

Вероятность совместного появления двух событий иногда может высчитываться, даже если события не являются полностью независимыми. Допустим, в урне находится 3 белых и 2 черных шара, и предположим, что вероятность извлечения каждого из шаров одинакова по сравнению с остальными. Какова вероятность извлечения 2 белых шаров один за другим при первых двух попытках, если шары не заменяются при второй попытке? Изначально вероятность извлечения белого шара равна ? Если извлечен белый шар (и при этом не заменен новым), то в урне остается два белых и два черных шара. Вероятность извлечения второго белого шара, если первый извлеченный шар был белым , равна 2?4. Из этого следует, что вероятность извлечения двух белых шаров при описанных условиях равна ?? ? или же 3?10 [48] . Вообще Р ( а ) является вероятностью события а , а Ра(Ь) является вероятностью появления события Ь при появлении события а. Вероятность совместного появления событий: Р(аЬ) = Р(а) х Ра(Ь).

Вероятность одного из взаимоисключающих событий

Иногда нам требуется не вероятность совместного появления событий, а вероятность того, что произойдет одно из событий. Для этих целей мы вводим строго дизъюнктивные, или взаимоисключающие, события. Два события являются взаимоисключающими, если оба не могут произойти одновременно (если происходит одно, то другое отсутствует). При бросании монеты такие события, как выпадение орла или решки, считаются взаимоисключающими. Можно доказать, что вероятность того, что произойдет одно из взаимоисключающих событий, является суммой вероятностей каждого из событий. Какова вероятность получения 2 орлов или 2 решек при двух бросках монеты при допущении того, что вероятность выпадения орла равна ?и что броски осуществляются независимо? Вероятность выпадения двух орлов является произведением вероятностей выпадения орла при первом броске и орла при втором броске, т. е. ? Сходным образом вероятность выпадения двух решек равна ? Следовательно, вероятность выпадения либо двух орлов, либо двух решек равна ?+ ? т. е. ? Тот же результат получается при непосредственном применении определения вероятности к четырем возможным событиям: ОО, ОР, РО, РР . Два из перечисленных событий являются благоприятными. Следовательно, искомая вероятность равна 2/4 или ? Вообще, если Р ( а ) и Р ( b ) являются возможностями двух взаимоисключающих событий соответственно, то вероятность получения одного из двух событий равна Р ( а + b ) = Р ( а ) + Р ( b ).

Две данные теоремы (теорема умножения для независимых событий и теорема сложения для взаимоисключающих событий) являются фундаментальными теоремами исчисления вероятности. С помощью самих этих теорем, а также с помощью их расширений можно с легкостью разрешить и более сложные проблемы. Предположим, что мы по одному разу извлекаем шары из двух урн. При этом в первой содержится 8 белых и 2 черных шара, а во второй —6 белых и 4 черных шара. Извлечение любого из шаров считается равновероятным. Какова вероятность того, что, когда мы извлечем по одному шару из каждой урны, по меньшей мере один из них будет белым? Вероятность извлечения белого шара из первой урны равна 8?10, а из второй урны —6?10. Возникает соблазн сложить эти дроби, с тем чтобы получить вероятность извлечения белого шара из любой из двух урн. Однако такой шаг будет ошибочным. О твет будет больше 1, что абсурдно. И действительно, в данном случае мы не можем просто складывать, поскольку данные события не являются взаимоисключающими. Однако мы можем получить нужный результат следующим образом: вероятность неизвлечения белого шара (т. е. извлечения черного шара) из первой урны равна 2?10; а вероятность неизвлечения белого шара из второй урны равна 4?10. Следовательно, предполагая, что извлечения осуществляются независимо, вероятность неизвлечения белого шара ни из первой, ни из второй урны равна 2?10 ? 4?10, т. е. 8?100. Следовательно, поскольку мы должны либо не извлечь ни одного белого шара из двух урн, либо извлечь хотя бы один, то вероятность извлечения по меньшей мере одного шара равна 1–8?100, или 92?100.

Какова вероятность выпадения 3 орлов при 5 бросках монеты при допущении, что орлы и решки равновероятны и что все броски являются независимыми? При решении данной задачи мы познакомимся еще с одной важной формулой исчисления вероятности. Возможно, мы начали бы рассуждать так: поскольку подбрасываются 5 монет, то вероятность выпадения орла на каждой из них равна ? а искомая вероятность ?? ?? ? или ?? Однако нам нужно выпадение трех орлов, и, следовательно, две другие монеты должны выпасть решкой, вероятность чего равна ?? ? или ? из этого мы можем заключить, что вероятность выпадения лишь 3 орлов (т. е. 3 орлов и 2 решек) равна ?? ? или 1/32 Однако данный ответ будет неверным. В его неправильности можно будет легко убедиться, если выписать все возможные способы, которыми могли бы выпасть 5 монет, а затем непосредственно применить определение вероятности к этим равновероятным альтернативам.

Возможные альтернативы таковы:

Имеется 32 равновероятные возможности, из которых 10 являются благоприятными. Вероятность выпадения 3 орлов и 2 решек равна 10/32, что в десять раз больше, чем результат, полученный неверным методом.

Теперь мы можем понять, почему изначально предложенный метод был неверным. В нем не учитывались различные варианты упорядочивания, по которым могли выпасть 3 орла и 2 решки. Следовательно, нам требуется способ оценки числа различных вариантов упорядочивания, которые можно изобразить с помощью 5 буквенных знаков, 3 из которых будут представлять одну букву, а 2 – другую. Читателям, знакомым с законами комбинаторики, будет несложно осуществить подобную оценку. Тем же, кто не знаком с этой областью арифметики, не следует отчаиваться, поскольку существует очень простая формула, позволяющая легко получать нужный результат. Число возможных событий для каждой категории сложного события (т. е. 1 для 5 орлов и 0 решек, 5 для 4 орлов и 1 решки и т. д.) является ничем иным, как соответствующим коэффициентом в разложении двучлена

(а + Ь)5 = а5 + 5 а4Ь + 10 а3Ь2 + 10 а2Ъ3 + 5 аЬ4 + Ь5.

Таким образом, можно строго доказать, что если р является вероятностью события, a q является вероятностью его единственной взаимоисключающей альтернативы, то вероятность комплексного события, количество компонентов которого равно п, получается посредством выбора соответствующего термина при разложении двучлена (р + q)n . Разложение данного двучлена может быть осуществлено довольно просто:

Рассмотрим еще одну иллюстрацию формулы двучлена. Урна содержит 2 белых шара и 1 красный. Нам нужно 4 раза извлечь шар из урны, при том что мы каждый раз будем заменять извлеченный шар на такой же. Мы можем полагать, что все шары равновероятны относительно возможности быть извлеченными и что содержимое урны тщательно перемешивается после каждого извлечения, так что все извлечения независимы. Какова вероятность извлечения 3 белых шаров и 1 красного? Вероятность извлечения белого шара: р = 2/з, а красного: q = ?. Чтобы получить нужный ответ, нам следует лишь разложить двучлен:

(р + q)4 = р4 + 4p3q + 6p2q2 + 4 pq3 + q4,

а затем подставить указанные нумерические значения в термин, который представляет вероятность извлечения 3 белых шаров и 1 красного. Данным термином является 4p3q , а искомая вероятность равна 4 х (?)3 х (?) или 32/81.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.