б) Исчисление вероятностей

б) Исчисление вероятностей

Помимо теоретико-познавательного применения исчисления вероятностей, Венский кружок предпринял подробное исследование теоретических оснований этого исчисления. Это было обусловлено столкновением различных теорий в исчислении вероятностей — частотной теории, теории игр и теорией Рейхенбаха, а также теоретико-познавательными связями между исчислением вероятностей и критерием случайных событий. В течение длительного времени исчисление вероятностей разрабатывалось как некий формализм, с помощью которого из данных вероятностей можно было вычислять другие вероятности. Однако первоначальная интерпретация вероятности как отношения «благоприятных» случаев к «равно возможным» случаям была неприемлемой, ибо «равно возможный» не означало ничего иного, как «равно вероятный». Проблема заключалась в том, чтобы понять, какой смысл следует вкладывать в понятие математической вероятности.

Первое истолкование исходило из того, что вероятность означает относительную частоту распределения признаков в неупорядоченной последовательности. При этом она говорит не об отдельных членах последовательности, а только о последовательности в целом, о числовых соотношениях появления признаков. Такое истолкование исчисления вероятностей было разработано, главным образом, Р. фон Мизесом²⁰⁵. Мизес характеризовал вероятностную последовательность, «коллектив«, с помощью двух требований: она должна быть неупорядочена и во всех ее отрезках относительная частота должна приближаться к некоторому предельному значению — тем ближе, чем длиннее отрезок.

Но Фейгль²⁰⁶ и Вайсман²⁰⁷ показали, что приближение к предельному значению говорит о закономерности, что, начиная с определенного места последовательности, отклонение от средней относительной частоты должно сохраняться. Поэтому конвергенция относительной частоты и неупорядоченность противоречат друг другу. Конвергенцию к предельному значению можно утверждать только для такой последовательности, которая образована с помощью какого-то закона, а не для такой, которая вследствие неупорядоченности не имеет никакого закона образования²⁰⁸. Предельное значение выражает свойство закона образования последовательности. В дальнейшем Фейгль обнаружил, что говорить о конвергенции для статистической последовательности в принципе невозможно. Каждый расходящийся комплекс имеет вычислимую, пусть даже очень небольшую, вероятность и может входить в последовательность с соответствующей частотой. Благодаря этому даже для отрезка, значительно отклоняющегося от вычисленной частоты, можно предполагать конвергенцию, ибо всегда есть надежда на то, что в дальнейшем эти отклонения могут уравняться. Вайсман высказал еще одно принципиальное возражение против частотной теории вероятностей. Исчисление вероятностей занимается бесконечными последовательностями. Но статистические ряды только конечны. Поэтому нельзя отождествлять относительную частоту с предельным значением и статистическую вероятность нельзя определять как предельное значение относительной частоты.

В противоположность частотной теории вероятности Вайсман (ibid.), следуя Витгенштейну, сформулировал строгие логические основания для того истолкования вероятности, которое было разработано Больцано, фон Кризом и в недавнее время Кейнсом в их попытках усовершенствовать классическую комбинаторную теорию вероятностей. Классическое понятие вероятности определяется как отношение благоприятных случаев к равно возможным случаям. Оно нуждается только в уточнении того, что подразумевается под объективной возможностью.

Нельзя правильно понять и строго определить вероятность событий. В появлении события нет никакой неопределенности: появится оно или нет — однозначно предопределено. Вероятность может быть приписана только высказываниям, предполагающим появление некоторого события на основе других высказываний. Таким образом, вероятность выражает логическое отношение между высказываниями. В отличие от однозначной выводимости одного высказывания из других, их строгой разрешимости, это отношение определено только частично и степень этой определенности выражается мерой вероятности.

Высказывание не является настолько определенным, что говорит об одном единственном факте. Верифицирующее его положение дел может варьироваться в определенных пределах. Высказывание «NN живет в Вене» соответствует множеству положений дел: он может жить в том или ином районе, доме, на том или ином этаже. В большинстве случаев высказывание обозначает только область отдельных фактов, некоторое пространство возможностей. У двух (или нескольких) высказываний эти пространства могут исключать друг друга, одно из них может включаться в другое или они могут пересекаться. Если для величины пространства возможностей ввести некоторую меру, то эти соотношения пространств возможностей можно определить количественно, с помощью чисел: исключение через 0, включение через 1, а пересечение посредством дроби. Величина общего пространства возможностей по отношению к величине пространства возможностей одного высказывания и есть та вероятность, которую последнее высказывание придает другому высказыванию. Если вместо одного этого высказывания принимают во внимание все известные истинные высказывания, то получают ту вероятность, которую придает высказыванию вся совокупность современного знания. Чем больше общее пространство возможностей, тем выше вероятность. Опираясь на эти основоположения, «можно чисто формально развивать исчисление вероятностей, не добавляя всякий раз общепризнанных предложений» (S. 239).

Это определение вероятности оправдывается тем, что к вероятности прибегают тогда, когда условия появления некоторого события известны или учитываются лишь частично, так что их недостаточно для утверждения индивидуального определенного высказывания. Степени неуверенности относительно истинности такого высказывания выражаются в вероятности. Однако, несмотря на это, вероятность отнюдь не является субъективной, так как она определяется логическими взаимосвязями между высказываниями. Опираясь на частично известные условия появления некоторого класса событий и на основе метрики для величин пространства возможностей, можно вычислить определенную вероятность и отсюда вывести соотношение частот в качестве предпосылки для построения статистических рядов. Это дает большое преимущество по сравнению с частотной теорией вероятности, которая вынуждена принимать статистические ряды просто как данное. Частотная теория может быть, в определенном смысле, встроена в теорию пространства возможностей, при этом затруднения частотной теории устраняются. Если опыт подтверждает оценку вероятности, то это свидетельствует о том, что события определены только теми условиями, которые положены в основу исчисления вероятностей и не зависят от других, неизвестных нам обстоятельств. Если же опыт не подтверждает оценки вероятности, мы ищем объяснение этого в других зависимостях. Такова взаимосвязь вероятности с зависимостью, т. е. закона и случая. Такое обоснование вероятности получило одобрение Карнапа²⁰⁹ и Шлика²¹⁰.

Напротив, Поппер остался сторонником частотной теории, он учел выдвинутые против нее возражения и придал ей новую лучшую форму. Он исходил из оригинальной мысли о том, что требование неупорядоченности, которое само по себе вовсе не необходимо, следует заменить чисто математическим требованием, гласящим, что при любом подборе членов относительная частота последовательности должна сохраняться после выбора определенного члена последовательности. Вместо неупорядоченной статистической последовательности он конструирует случайную математическую последовательность, которая воспроизводит неупорядоченность случайной последовательности в виде математической последовательности, построенной в соответствии с некоторым правилом. Некоторая последовательность подобна случайной, если предельная частота ее основного признака не зависит от выбора любой л-ки членов. Тем самым неупорядоченность заменяется гипотезой частотности. Он получает чисто математическое основание.

Поскольку эмпирические случайные последовательности конечны, постольку при их математическом моделировании нужно отказаться от предельного значения относительной частоты, ибо она имеет место только для бесконечных последовательностей. Поэтому вместо нее Поппер вводит понятие точки накопления относительных частот в последовательности. Под этим он подразумевает, что для каждого отрезка последовательности всегда имеется такой отрезок, относительная частота в котором сколь угодно мало отличается от определенной частоты, образующей точку накопления. Если последовательность имеет только одну такую точку накопления, то единственная средняя частота, являющаяся также средней частотой каждой выборки членов, заменяет предельное значение относительной частоты²¹¹. Эта средняя частота представляет «вероятность» распределения признака. Таким образом, последовательность, подобная случайной, ведет себя как сходящаяся.

Затем Поппер указал на то, что теорема Бернулли о предельном значении является независимой и предполагает лишь безразличие относительной частоты по отношению к выборкам. Это указание говорит о том, что из одного этого предположения данная теорема выводима для случайных последовательностей без предельного значения частоты. При интерпретации вероятности как относительной частоты теорема Бернулли гласит: относительная частота распределения признака в достаточно длинном конечном отрезке случайной последовательности сколь угодно мало отличается от средней частоты последовательности в целом, но в коротких отрезках может отличаться значительно больше. Чем меньше отрезок, тем большими могут быть отклонения от средней частоты; чем больше отрезок, тем меньше отклонения, тем больше они выравниваются. Но это есть не что иное, как закон больших чисел. Таким образом, этот закон оказывается тавтологичной переформулировкой теоремы Бернулли и логическим следствием того свойства ряда случайных событий, что им присуща некоторая средняя частота, которая не нарушается в выборках определенного рода. Так разрешается тот парадокс, что, несмотря на «неупорядоченность» таких рядов, при больших числах обнаруживается некоторая «закономерность». Тогда из этого свойства упорядоченности чисто логически следует, что малые отрезки неупорядочены и только в больших отрезках может проявиться порядок в смысле сходимости.

Субъективная теория исчисления вероятностей не может интерпретировать теорему Бернулли как высказывание о частоте в смысле закона больших чисел, поэтому она не в состоянии объяснить применимость исчисления вероятностей к статистическим последовательностям и успешность вероятностных прогнозов. До сих пор частотная теория вероятности постулировала закономерность в виде предельного значения. Поппер сформулировал закон больших чисел в виде математического предложения. Однако оно относится к структуре эмпирических статистических рядов. Закон больших чисел описывает эмпирическое положение дел: существуют ряды событий, малые отрезки которых неупорядочены, а в больших проявляется сходимость. Но если случайный или статистический характер некоторой последовательности можно выразить с помощью математического условия — безразличия к выборке, — то этот закон оказывается справедлив и для эмпирических рядов такого рода. Тогда исчисление вероятностей вместе с законом больших чисел является математической теорией эмпирических областей, или, наоборот, если построены случайные математические последовательности, то существуют эмпирические статистические ряды, которые им соответствуют и поэтому также реализуют закон больших чисел. Математические ряды и закон больших чисел находят эмпирическое приложение.

Высказывания о математической вероятности при их эмпирическом применении нельзя ни верифицировать, ни фальсифицировать, т. е. нельзя полностью подтвердить ни их самих, ни их отрицания. Высказывания исчисления вероятностей неверифицируемы потому, что они относятся к бесконечным рядам, а эмпирически данные ряды всегда конечны. Даже если такой ряд вполне соответствует математическому вероятностному высказыванию, то нет никакой уверенности в том, сохранится ли это соответствие при продолжении этого ряда. Как и при неограниченно общих высказываниях, препятствием для подтверждения здесь служит неизвестное. Но именно поэтому эмпирический ряд не может противоречить математическому вероятностному высказыванию. Отклонения от вычисленной вероятности связаны с характером вероятностной последовательности. Нужно лишь допустить, что в дальнейшем они сгладятся. Поэтому вероятностные высказывания теоретически неразрешимы. Их вообще нельзя подтвердить эмпирически (ibid., S. 194).Но в таком случае они не имеют значения для опыта! Поппер полагал (S. 133), что поэтому они «должны рассматриваться как ‘эмпирически невыразимые’, ‘эмпирически бессодержательные’» и даже логически пустые, «однако такому пониманию противоречит... большой прогностический успех, которого добивается физика с помощью гипотетических вероятностных предсказаний»²¹². Здесь обнаруживается их практическая подтверждаемость или бесплодность и опровержимость.

Это становится понятным при рассмотрении формы вероятностных высказываний и их отношения к базисным предложениям. Из вероятностных высказываний можно вывести следствия, а именно экзистенциальные высказывания, относящиеся к членам или отрезкам некоторого ряда, например: существует отрезок, частота в котором сколь угодно мало отличается от средней частоты. Такие экзистенциальные предложения являются общими: «Всегда существует такой-то и такой член последовательности; это экзистенциальная гипотеза, которая ни верифицируема, ни фальсифицируема». Однако сингулярные экзистенциальные высказывания могут быть верифицированы. Вероятностное высказывание подтверждается в большей, в меньшей степени или совсем не подтверждается в зависимости от того, много, мало или ни одно из этих экзистенциальных следствий реализуется.

Однако этого еще недостаточно. Вероятностные высказывания не обязательно должны быть неограниченными в своем применении. Любую закономерность можно рассматривать как редкий отрезок случайного ряда. Именно поэтому вероятностные высказывания неопровержимы. Таким образом, применение вероятностных гипотез можно ограничить некоторым методологическим правилом. Это правило запрещает считать предсказуемым и репродуцируемым такой отрезок случайного ряда, который в определенном направлении сильно отличается от средней частоты²¹³. Именно благодаря их невероятности и редкости, такие отрезки могут оказаться непредсказуемыми и нерепродуцируемыми. Для подтверждения вероятностных предсказаний не достаточно большего или меньшего согласования их с базисными предложениями, здесь требуется согласование в рамках достижимой точности измерений. В этом случае вероятностные гипотезы могут применяться точно так же, как и другие гипотезы.