1. ЛОГИКА И МАТЕМАТИКА

1. ЛОГИКА И МАТЕМАТИКА

Для Венского кружка новейшая логика имела особое значение. Оно подчеркивается даже тем названием, которое дают философии Венского кружка — «логический неопозитивизм» или «логический эмпиризм»⁴³.

Со второй половины XIX столетия логика пережила такие преобразование и расширение, которые далеко вывели ее за рамки традиционной логики⁴⁴. Отличие новой логики от старой заключается, с одной стороны, в широком употреблении символов по аналогии с математикой, в создании логистики, с другой — в добавлении к логике совершенно новой области: к рассматриваемым до сих пор свойствам добавились связи и функции-высказывания⁴⁵, т. е. предложения с пустыми местами, обозначаемыми переменными. Содержательное обновление логики обусловлено деятельностью математиков, которые сочли недостаточной традиционную логику для более строгого построения математики. Предложения математики не укладываются в схему суждений традиционной логики: субъект—связка—предикат, ибо они выражают связи и отношения. Высказывания, приписывающие один субъект одному предикату, подходят только для свойств, для классов; но с их помощью нельзя выразить отношений, связывающих два и больше элементов. А столь важные для математики ряды нельзя представить только посредством (необратимо транзитивных) отношений. Поэтому требовалось разработать логическую теорию отношений. При теоретическом построении математики появляются логические затруднения, возникают антиномии, носящие отчасти общелогический характер. Все это также потребовало реформы логики. Новый образ логики нашел завершенное выражение в фундаментальном труде «Principia Mathematical Рассела и Уайтхеда, т. I—III, 1910—1913, 2-е изд. 1925—1927. Новая логика получила признание и дальнейшее развитие не только у непосредственных учеников Рассела (Витгенштейна, Рамсея), но также и у представителей польских логических школ в Варшаве, Лемберге и Кракове, у Гильберта и его учеников, у Г. Штольца в Мюнстере и К. Дюрра в Цюрихе, у Йоргенсена в Копенгагене и Кайла в Хельсинки, а также в Соединенных Штатах.

Новая логика, логистика, далеко превосходит традиционную логику как в содержательном, так и в формальном отношениях. Она не только существенно расширяет область логики, но даже и прежним ее областям придает более строгий и систематичный вид. Вместе с символикой она обрела такую форму выражения, которая с математической точностью позволила представить понятия, высказывания и правила их связи. Это дало возможность осуществлять с понятиями и высказываниями чисто формальные операции, проводить вычисления. Была достигнута такая ясность и точность, о которой нельзя было и думать при использовании повседневного языка. Исчезла двусмысленность, неявные предположения получили формулировки, была обеспечена строгость выводов. Конечно, использование логистики существенно ограничивалось тем, что ее формулы очень скоро стали слишком сложными.

«Во всяком случае, практически было бы невозможно каждому рассуждению придать форму подробного вывода в логическом исчислении, т. е. разбить его на отдельные шаги так, чтобы каждому шагу однозначно соответствовало применение определенного правила преобразования исчисления. Простое рассуждение, излагаемое в течение двух секунд, тогда потребовало бы целого дня. Однако существенно то, что такое разложение теоретически возможно и может быть осуществлено практически для отдельных частей всего процесса. Те или иные важные пункты могут быть поставлены под логический контроль».

«Когда хотят прийти к согласию относительно формальной корректности данного вывода, могут оставить в стороне все расхождения во мнениях по поводу содержательных вопросов или вопросов, касающихся интерпретации. Нужно лишь установить, удовлетворяет ли данная последовательность формул формальным правилам исчисления»⁴⁶.

В «Principia Mathematical Рассела и Уайтхеда из системы новой логики выводится математика. С помощью только основных понятий логики и логических аксиом, к которым добавляются две новые аксиомы — аксиома бесконечности и аксиома выбора, формулируются основные понятия математики, натуральные числа и их расширения, понятия математического анализа и теории множеств. Таким образом, математика оказывается ветвью логики и все то, что важно для логики, важно также для математики.

Новая логика и ее связь с математикой имели решающее значение для философской позиции Венского кружка. Благодаря этому он пришел к правильному пониманию логики и математики, которое до сих пор отсутствовало в эмпиризме. Эмпиризм, в его классической формулировке, данной Д.С. Миллем и Спенсером и поддерживаемой еще и в наши дни⁴⁷, исходит из того, что математика и логика, как и все науки, должны опираться на опыт. Они отличаются лишь высшей степенью обобщения и выражают важнейшие законы бытия и мышления в наиболее абстрактном и формализованном виде. В таком случае они оказываются законами природы и могут быть опровергнуты индуктивно, т. е. посредством опыта!

Такое истолкование совершенно неприемлемо. Если математические предложения расходятся с опытом, никто не будет считать математические предложения опровергнутыми и исправлять их в соответствии с опытом. Математические теоремы мы считаем гораздо более несомненными, чем наши вычисления и измерения. Если эти последние не согласуются с теоремами, мы не считаем измерения точными, а вычисления — верными. Это доказывает, что математика не опирается на опыт и имеет самостоятельное значение. Логику столь же мало можно вывести из опыта, ибо она уже предполагается при всяком методически организованном опыте. Логика не может измениться благодаря новому опыту. Конечно, генетически логика и математика могут восходить к опыту, т. е. к связям чувственных переживаний, ибо опыт мог дать толчок к их возникновению. Однако уже давно они стали самостоятельными системами, значение которых совершенно не зависит от опыта. Можно сказать, что они имеют значение «а priopi», если под этим понимать не более чем «независимость от опыта».

Эти соображения до сих пор были решающим возражением против эмпиризма и делали его неприемлемым для всех, кто их разделял. Выход из дилеммы: отказ от эмпиризма или ошибочное истолкование логики и математики, был найден только Венским кружком⁴⁸: логика и математика ничего не говорят о чувственно воспринимаемом мире. Логика не дает никакого знания, она выражает не основные законы бытия, а основоположения упорядочения мыслей. Логические связи являются только мысленными, они представляют собой не фактические связи реальности, а лишь связи в системах изображения реальности. Например, классы существуют не как некие реальности, а как объединения в мысли. И отрицанию в окружающем мире не соответствует какого-то особенного положения дел наряду с позитивным положением. Поскольку логические связи являются чисто формальными, они могут устанавливаться совершенно независимо от конкретного смысла предложений, от конкретных положений дел. Поэтому они могут вообще ничего не говорить о бытии. Логика содержит аксиомы порядка в символическом представлении. В мышлении имеющим языковое выражение предметам и их связям сопоставлены символы и связи символов. Это сопоставление не является однозначным в том смысле, что каждому предмету или отношению соответствует только один символ и наоборот, оно одномногозначно, т. е. одному и тому же предмету соответствуют несколько символов или совокупностей символов, но не наоборот, поэтому возможны преобразования друг в друга таких наборов символов, которые обозначают один и тот же предмет или положение дел. Логика как раз и содержит правила таких преобразований. В качестве чистой логики она устанавливает законы лишь для символики, а не для чувственно воспринимаемого мира. Известная логическая аксиома «Что верно для всех, то верно и для каждого в отдельности» описывает одно и то же положение вещей с помощью двух разных символов, а именно «все» и «каждый в отдельности». Однако «у мира нет свойства, состоящего в том, что верное для всех верно также для каждого»⁴⁹.

В силу того что математика может быть выведена из логики, она обладает тем же характером. Математик также не говорит ни о каких фактах. С чисто математической точки зрения, числа — если отвлечься от их применения — не обозначают никаких предметов из мира опыта, а геометрия не описывает реального пространства. Существует несколько взаимоисключающих геометрий, и какая из них окажется справедливой в опытном мире, заранее сказать нельзя. Они разрабатываются независимо от того, окажутся они справедливыми или нет. Системы геометрии имеют дело не с эмпирическими объектами, а с идеальными конструктами, например с лишенными размеров точками и т.п. Равенство, например известный пример Канта «7+5=12», не относится к какому-то реальному положению дел, но лишь преобразует две группы единиц в одну группу согласно правилам вычисления. Ни сами эти единицы не являются реальными вещами, ни правила вычисления не являются законами природы. Числа представляют собой классы любых мыслимых предметов, а правила вычисления являются установленными нами правилами преобразования одних классов в другие⁵⁰. Причем эти другие классы состоят из тех же самых единиц. При этом мы всегда остаемся в рамках системы представления, внутри чисто умственного порядка⁵¹.

В таком понимании априорная значимость логики и математики уже не создает никаких трудностей. Ее можно признать без всяких оговорок, ибо она связана не с опытом, а лишь с символическим представлением. Предложения логики и математики нельзя рассматривать как выражение знаний о реальности, они дают лишь способ преобразования символики, которой в реальности всегда соответствует одно и то же положение дел, по крайней мере, должно соответствовать. Их априорная значимость опирается на установки, относящиеся только к сфере символизма, поэтому они выражают закономерности не чувственно воспринимаемого, а только символического представления.

Предложения математики являются не синтетическими, как полагали Кант и Милль, а аналитическими, они признаются истинными (или ложными) только на основе определений входящих в них понятий. Они представляют собой простые тавтологии, как называл Витгенштейн те предложения, истинность которых устанавливается только на основании их логической формы. Аналитический характер математики с полной ясностью выражается в ее дедуктивном построении, которое стало осуществляться во второй половине XIX века. Аналитический характер математики объясняет и ее априорную значимость. Она относится только к связям мыслей, а не к чувственно воспринимаемой реальности. Таким образом, отпадает необходимость искать основания для оправдания синтетических суждений a priopi и оказываются ненужным ни «чистый разум», ни «чистое созерцание», ни интуиция или свидетельство опыта. Аналитические связи являются логическими, а не эмпирическими, а логические связи относятся только к системам представления. Самостоятельное значение логики усматривается в том, что она включает в себя не законы мира, а законы мышления о мире. Вот так преодолеваются трудности оправдания независимости логики и математики по отношению к опыту.

Ясно, что Венский кружок не первым обнаружил независимость логики и математики, мысль об этом имеет давнее происхождение. Понимание аналитического характера математики также уже было открыто. Его обстоятельно изложил Кутюра⁵², а еще раньше оно было высказано Брентано⁵³. Однако тот, кто в философии признавал априорный характер логики и математики, тот обычно переносил догматический априоризм и рационализм также и на познание природы. А эмпиризм не признавал априорного характера логики и математики. Только Венский кружок понял, как можно связать априоризм с эмпиризмом. Это имело чрезвычайно большое значение⁵⁴. Благодаря этому эмпиризм был принципиально преобразован. Он отказался от своих прежних претензий на то, чтобы все знание и всю науку вывести из опыта или дать им опытное обоснование. Теперь эмпиризм распространяется только на познание фактов. Все синтетические суждения устанавливаются только на основе опыта, для них не существует никакого другого основания. Это ядро эмпиризма сохраняется. Признание априорного характера логики и математики не вносит никакого рационализма в познание фактов, ибо эти дисциплины ничего о фактах не говорят. Это означает коренное преобразование эмпиризма, благодаря которому он впервые получил прочное основание. Дуализм рационализма и эмпиризма в некотором смысле сохраняется. Имеются два основных класса высказываний: высказывания, которые необходимы и не зависят от опыта, они являются аналитическими и ничего не говорят о фактах; и высказывания о фактах, синтетические высказывания, которые устанавливаются или опровергаются только на основе опыта. Но это вовсе не абсолютный дуализм, как было когда-то. Рациональное познание не исключает существование эмпирического мира, этот рационализм ни в коей мере не является метафизическим. Логика может быть вновь включена в эмпирическую область, если истолковать ее прагматически — как определенный вид целесообразного поведения⁵⁵.

Это ограничение эмпиризма нашло выражение в том, что направление, разрабатываемое Венским кружком, стали называть «логическим эмпиризмом»⁵⁶. В таком же духе высказывались ведущие члены кружка, например Шлик⁵⁷ и Карнап⁵⁸. Последний возражал против таких названий, как «логический позитивизм»⁵⁹ или «неопозитивизм»⁶⁰, которые обычно давали этому направлению, утверждая, что они «слишком резко подчеркивают его зависимость от старого позитивизма Конта и Маха»⁶¹. Однако совершенно аналогичное возражение можно высказать также и по поводу названия «эмпиризм». В нем также не видно никакого отличия от старого эмпиризма. С более ранним позитивизмом Венский кружок сближает сведение всякого позитивного знания к конкретным наукам, а философии — к научной теории⁶².