[5. ЛИНИЯ И ПОВЕРХНОСТЬ]

Вот что [можно сказать] об этом. Однако, поскольку геометры называют линию, которая есть длина без ширины, также и границей поверхности, то мы построим более общую апорию относительно линии и поверхности сразу [302]. А таким образом легко будет дискредитировать и рассуждение относительно тела.

Действительно, если линия есть граница поверхности, будучи [к тому же] длиной без ширины, то ясно, что когда мы приставим одну поверхность к другой, то или две линии окажутся одна возле другой, или обе окажутся одной. И если две линии становятся одной, то, поскольку линия есть граница поверхности, а поверхность — граница тела, при слиянии двух линий в одну сольются в одну и две поверхности; а если две поверхности стали одной, то по необходимости и два тела станут одним телом, если же два тела стали одним, то приставление уже не будет приставлением, но [неразличимым] единением. А это невозможно. Ведь в отношении одних тел приставление [одного к другому] может стать единением (как, например, в отношении воды и подобного ей), в отношении же других не может. Так, если камень приставить к камню, железо к железу и сталь к стали, то здесь нет единения по линии, значит, две линии не могут стать одной.

Так же и иначе. Если действительно существует единение двух линий, становящихся одной, и также слияние тел, то неизбежно, чтобы разделение их возникало в результате разрыва не по тем же самым границам, но по частям, все разным и разным, так что должно было бы возникнуть и уничтожение [самих границ]. Однако этого явления вовсе не усматривается, но границы тел и до присоединения, и после присоединения оказываются теми же самыми, какими они являлись и раньше, в процессе самого присоединения. Следовательно, две линии не становятся одной.

Впрочем, если бы две линии даже становились одной, то нужно было бы, чтобы присоединяемые друг к другу тела становились на один край меньше. Ведь две линии стали одной, которая должна иметь и одну границу и один край. Однако присоединяемые друг к другу тела не становятся меньше на один край. Поэтому две линии не могут стать одной линией.

Однако если две линии с присоединением одного тела к другому пойдут одна возле другой, то составленное из двух линий будет больше одной линии. Если же то, что возникает из двух линий, больше одной линии, то каждая из них должна обладать шириной, которая в соединении с другой шириной создает большее расстояние. И таким образом, линия не есть длина без ширины.

Следовательно, одно из двух: или нужно отбросить очевидность, или, если она остается, нужно устранить мнение геометров, согласно которому они полагают, что линия есть длина без ширины.

Итак, вот что нужно нам прежде всего сказать против принципов геометрии. Однако, переходя к дальнейшему, мы выставим учение, что исследование не может сдвинуться с места с точки зрения их же собственной предпосылки.

Как известно, их мнение таково, что прямая линия, как мы и говорили выше [303], своим вращением всеми своими частями описывает круг. Однако с этой теоремой, хотя она и очень содержательная, находится в противоречии то, что линия есть длина без ширины. Рассмотрим дело следующим образом.

Именно, если, как они говорят, каждая часть линии содержит точку, а точка своим вращением описывает круг, то, по их учению, необходимо, чтобы всякий раз, когда прямая линия, вращаясь и описывая всеми своими частями круг, отмеривает на плоскости расстояние от центра до самой внешней окружности, тогда описываемые круги оказываются или непрерывно [следующими] один за другим или находящимися друг от друга на известном расстоянии. Но если они находятся друг от друга на известном расстоянии, то из этого должно следовать, что имеется некоторая часть плоскости, не занимаемая кругом, и часть прямой, которая хотя и прошла это расстояние, но не описала круга. А это нелепо. Ведь прямая линия или не содержит точки в данной своей части, или, если содержит, то не описывает круга. А то и другое из этого противоречит геометрическому ученику поскольку в нем утверждается как то, что всякая часть линии содержит точку, так и то, что всякая точка своим вращением описывает круг.

С другой стороны, если они полагают, что круги непрерывно [следуют] один за другим, то или они занимают одно и то же место, или они расположены один около другого, причем посередине не попадается ни одной точки (поскольку всякая точка, которая берется мысленно посередине, тоже должна была бы описывать круг). И если все они занимают одно и то же место, то получается один круг, и потому наименьшему кругу, расположенному у центра, будет равен больший круг, самый внешний и охватывающий все другие. Действительно, если самый внешний круг, находящийся у самой окружности, занимает большее расстояние, а самый внутренний круг, находящийся у центра, занимает малое расстояние, но притом все круги занимают одно и то же место, то круг, занимающий большую плоскость, окажется равным тому, который занимает наименьшую часть. Однако это бессмысленно. Следовательно, круги непрерывно [следуют] не так, чтобы занимать одно и то же место. Если же они оказываются один возле другого так, что между ними не попадается ни одной точки, лишенной частей, то они заполнят [всю] ширину от центра до периферии. Если же они [ее] заполнят, то во всяком случае [каждая из них] занимает какую-то ширину. Но ведь эти круги — линии. Следовательно, линии обладают какой-то шириной и не являются "без ширины".

Отправляясь от того же самого принципа, мы можем присоединить аргументацию того же рода, что и предложенная выше, а именно: когда они говорят, что если описывающая круг прямая описывает круг при помощи себя самой, то мы тоже поставим вопрос и скажем [так]. Если описывающая круг прямая способпа описать круг при помощи себя самой, то линия не есть длина без ширины. Но описывающая круг прямая описывает круг при помощи себя самой, как они утверждают. Следовательно, линия не есть длина без ширины. Как мы покажем, это вполне следует из их учения. Именно, когда проходящая из центра прямая вращается и описывает круг при помощи себя самой, то прямая линия проходит или по всем частям плоскости, заключенной внутри данной окружности, или не по всем, но по некоторым. И если она проходит по некоторым, то она не описывает круга, потому что по одним частям она проходит, а по другим нет. Если же она проходит по всем, то она отмеривает всю ширину окружности, а, отмеривая ширину, она сама будет обладать шириной, поскольку то, что способно отмеривать ширину, должно само обладать шириной, при помощи которой она отмеривала бы. Следовательно, прямая линия, описывающая круг, отмеривает всю ширину, и линия не есть длина без ширины.

То же самое станет яснее на том положении геометров, что если будет двигаться боковая сторона четырехугольника, то она отмерит плоскость в виде параллелограмма. Действительно, если движущаяся боковая сторона четырехугольника есть длина без ширины, то она не сможет при помощи себя самой отмерить часть плоскости, на которой находится четырехугольник, в виде параллелограмма. Ведь то, что способно отмерить ширину, само обладает шириной. А если она отмеривает, то она обязательно обладает шириной. Поэтому опять-таки или данная теорема у геометров неправильна, или не существует никакой длины без ширины, которую можно было бы мыслить.