Диалектико-материалистическое истолкование математики

Диалектико-материалистическое истолкование математики

В ходе разработки методологических проблем научного познания в сферу научных изысканий Маркса и Энгельса вошли вопросы математики. Исследуя эти вопросы, основоположники марксизма стремились понять функции математических абстракций в процессе постижения окружающей человека действительности.

Интерес к математике проявляется в исследовательской работе Маркса и Энгельса начиная по крайней мере с конца 50-х годов. Потребность в ее изучении шла тогда прежде всего от экономических исследований Маркса и вначале имела преимущественно прикладной характер: в «Критике политической экономии» и особенно «Капитале» качественный анализ экономических явлений достиг уже такой стадии прояснения их сущности, который позволял говорить о возможности и целесообразности дополнить их его количественным анализом[631].

С конца 60 – начала 70-х годов интерес основоположников марксизма к математике приобретает философский характер. Предметом их размышлений становится теперь само математическое знание как таковое. Анализируя природу математического знания, Маркс и Энгельс стремятся прежде всего объяснить, почему чрезвычайно абстрактные математические образы и понятия, кажущиеся на первый взгляд произвольными конструкциями, способны играть столь активную и продуктивную роль в процессе постижения объективной, то есть не зависящей от наших мыслей, действительности. Отвергая идеалистические интерпретации математики, Маркс и Энгельс ставят вопрос о специфике отражения объективной реальности в математических понятиях и представлениях, ее реальном содержании, формулируя его прежде всего как проблему происхождения математических абстракций.

Как показывает анализ произведений основоположников марксизма, содержащих их размышления о природе математического знания, эта проблема понималась ими как многоплановая и, соответственно этому, рассматривалась с различных сторон.

Так, в работах Энгельса «Диалектика природы» и «Анти-Дюринг» основное внимание уделено ее общегносеологическим аспектам. В них раскрывается практическая обусловленность развития математики, выявляется источник математических представлений в самой окружающей нас действительности. Характеризуя некоторые фундаментальные математические понятия, Энгельс доказывает, что они «взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира»[632] и в этом смысле предметом математики является «весьма реальный материал»[633].

Например, категория числа возникла из счета предметов, рассматривая которые человек имел возможность отвлечься от всех остальных их свойств, кроме способности складываться в некоторое множество; для того, чтобы появилось понятие фигуры, должны были существовать вещи, имеющие определенную форму и сопоставляемые с точки зрения сходства (различия) их формы. Даже идея бесконечности, которая казалось бы в принципе не может иметь прообразов в окружающем нас мире (ибо все вещи, из которых он состоит, конечны), по Энгельсу, также формируется на вполне реальной основе: к ней подводит, например, возможность практически пренебречь какими-то величинами при их сопоставлении с другими (так, отмечает Энгельс, размеры и масса Земли настолько превосходят размеры и массу находящихся на ее поверхности тел, что она может рассматриваться по отношению к ним как бесконечно большая; в огромных же межзвездных пространствах Земля, в свою очередь, оказывается бесконечно малой).

«Как и все другие науки, – резюмирует свои размышления Энгельс, – математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики. Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так было с обществом и государством, так, а не иначе, чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, – и как раз только поэтому и может вообще применяться»[634].

Так же проблема реального содержания математического знания, но в несколько ином ее аспекте, освещается в «Математических рукописях» Маркса. Здесь разбирается прежде всего проблема содержательного истолкования (обоснования) таких элементов математического знания, которые являются результатом его теоретического саморазвития. Энгельс, исключительно высоко ценивший математические изыскания Маркса, считал, что эти последние и его собственные исследования органически дополняют друг друга. Не случайно он намеревался опубликовать «Математические рукописи» вместе со своей «Диалектикой природы»[635].

Основным объектом исследования в «Математических рукописях» выступает дифференциальное исчисление. К анализу этого важного раздела математики Маркс подошел как диалектик, берущий познание не только в его законченных результатах, но и в развитии. В соответствии с этим, он обращается к истории создания и разработки дифференциального исчисления, в которой он выделяет три этапа.

Первый из них он именует «мистическим», подчеркивая этим то обстоятельство, что творцы дифференциального исчисления Ньютон и Лейбниц не могли достаточно строго и убедительно обосновать введенные ими символы и формулы, поскольку понятие бесконечно малой, на которое они опирались, не было сформулировано сколько-нибудь четким и непротиворечивым образом. В одних случаях бесконечно малая рассматривалась как равная нулю, в других – как очень малая, но отличная от нуля. Однако в первом случае было непонятно, как в результате операций с ними получаются не равные нулю величины, а во втором отбрасывание или, как выражается Маркс, «насильственное устранение» бесконечно малых оказывалось математически не обоснованным. Приемы дифференцирования практически доказали свою эффективность, но почему – это оставалось загадкой. Творцы анализа бесконечно малых, отмечает Маркс, и сами верили в таинственный характер открытого ими исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом, они «сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециалистов и необходимые для прокладывания пути новому»[636].

Следующий этап развития представлений о сущности анализа бесконечно малых Маркс называет рациональным дифференциальным исчислением и связывает его с именем Даламбера. Превращение конечного приращения в дифференциал, который «у мистиков и инициаторов исчисления… является исходным пунктом», в работах этого математика выступает уже лишь как «конечный результат развития или по крайней мере его заключительная стадия»[637]. Даламбер конкретно показывает, как из отношения приращения функции к приращению аргумента получается производная и как из конечных приращений получаются дифференциалы. Это хотя и не разрешило в полной мере проблему обоснования анализа бесконечно малых, все же позволило сорвать с него покров таинственности и сделать крупный шаг вперед в прояснении его реального смысла.

Наконец, третий этап истории дифференциального исчисления, по Марксу, обязан своим возникновением Лагранжу. Это этап алгебраической интерпретации дифференциального исчисления.

Оценивая научные результаты, полученные Лагранжем, Маркс писал, что тот, наконец, «действительно освобождается от всего, что представляется ему метафизической трансцендентностью во флюксиях Ньютона, в бесконечно малых разного порядка Лейбница, в теории пределов исчезающих величин, в подстановке символа 0/0 (= dy/dx) вместо дифференциальных коэффициентов и др.». Впрочем, это, отмечает Маркс, «не мешает ему самому, в применении его теории к кривым и т.д., постоянно пользоваться тем или иным из этих „метафизических“ представлений»[638], что делает его точку зрения непоследовательной.

Проанализировав различные трактовки дифференциального исчисления, Маркс пришел к выводу, что задача его обоснования еще не получила удовлетворительного решения. Вместе с тем исторический способ рассмотрения дал возможность выявить перспективные тенденции, которые намечали конструктивные подходы к такому решению, и это позволило Марксу предвосхитить сам принцип обоснования новых идей, порождаемых ходом развития математического знания. На примере дифференциального исчисления Маркс, по существу, показывает, что основную роль в этом играет интерпретация вначале еще «таинственных» абстракций через содержательно более ясные, уже прошедшие через процедуру обоснования теоретические объекты. Именно такой представлялась ему, в частности, интерпретация анализа бесконечно малых через алгебраические понятия и операции. Опираясь на этот принцип обоснования, Маркс затем попытался решить методологические проблемы исследуемого им раздела самостоятельно.

Связь между теорией, подлежащей интерпретации, и теми математическими понятиями и образами, которые для этой интерпретации используются, Маркс истолковал как имеющую не только логический, но и генетический аспекты. С этих позиций задача обоснования дифференциального исчисления и его окончательной демистификации предстала как детальное воссоздание «происхождения» его понятий и операций и их выведения из некоторых первичных по отношению к ним математических объектов и действий над ними. В этом смысле Маркс говорит, в частности, о том, что символы дифференцирования представляют собой специфическое выражение «реального дифференциального процесса», понимая под этим последним развернутую во времени совокупность математических действий, которые необходимо совершить для получения производных и дифференциалов. Однако, возникнув как простое обозначение некоторых операций, как «конечный пункт алгебраического развития» они затем могут превращаться (и на самом деле превращаются) в самостоятельные математические объекты, становятся исходным пунктом новой теоретической структуры – «исходным пунктом движущегося на собственной почве дифференциального исчисления»[639]. В результате этого происходит изменение первоначального порядка познавательных операций с символами на противоположный (так называемое оборачивание метода): он состоит уже не в движении от «реальных» процессов к символам, а, наоборот, в отыскании для символов их возможных реальных эквивалентов, задаваемых этими символами определенных «стратагем действий»[640].

Такой способ трансформации знания, детально прослеженный Марксом на примере исследованного им раздела математики, как показало дальнейшее развитие науки, является одной из общих закономерностей и способов логического развития абстрактных теоретических систем вообще. В условиях современной научно-технической революции, когда развитие научного знания во многом определяется развитием его математического аппарата, «оборачивание метода» стало одним из наиболее характерных «ходов» диалектического движения познания наших дней, и вместе с тем – одним из источников противоречий познавательного процесса.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.