Глава 4. Ответы на возражения

Глава 4. Ответы на возражения

Наша теория пространства и времени состоит из двух частей, тесно связанных друг с другом. Первая часть основана на следующей цепи рассуждений. Способность ума не бесконечна, следовательно, всякая наша идея протяжения или длительности состоит из конечного, а не из бесконечного числа частей, или более элементарных идей, причем части эти просты и неделимы. Итак, пространство и время могут существовать согласно этой идее; а если это возможно, то очевидно, что они и в действительности существуют сообразно с ней, поскольку их бесконечная делимость совершенно невозможна и противоречива.

Вторая часть нашей теории является следствием первой. Части, на которые распадаются идеи пространства и времени, неделимы дальше; и эти неделимые части, которые сами по себе ничто, непредставимы, если они не заполнены чем-нибудь реальным и существующим. Таким образом, идеи пространства и времени не отдельные или отчетливые идеи, но лишь идеи способа, или порядка, существования объектов. Или, другими словами, невозможно представить пустое пространство, или протяжение без материи, а также время без последовательности или изменений в каком-либо реальном существовании. Тесная связь между этими частями нашей теории и есть та причина, в силу которой мы будем рассматривать совместно возражения, выставленные против обеих этих частей; начнем же мы с возражений против конечной делимости протяжения.

I. Первое из тех возражений, которые я приму во внимание, скорее способно подтвердить связь и взаимную зависимость обеих частей нашей теории, чем опровергнуть ту или другую из них. В [философских] школах часто утверждалось, что протяжение должно быть делимо in infinitum, потому что теория математических точек нелепа; а нелепа она потому, что математическая точка не есть некая сущность и, следовательно, никак не может составить реального существования в связи с другими точками. Это возражение решало бы вопрос, если бы не было среднего между бесконечной делимостью материи и математическими точками как не-сущностями. Но очевидно, что существует такое среднее, а именно наделение этих точек цветом или плотностью; нелепость же обеих крайностей служит доказательством истины и реальности этого среднего²². Теория физических точек, представляющая собой другое такое среднее, слишком нелепа, чтобы нуждаться в опровержении. Реальное протяжение, каким считается физическая точка, никак не может существовать без отличных друг от друга частей, но, если только объекты различны, они могут быть различены и разделены воображением.

II. Второе возражение гласит, что если бы протяжение состояло из математических точек, то необходимо существовало бы проницание (penetration). Простой и неделимый атом, касающийся другого атома, необходимо должен проникать в последний; ведь он не может касаться этого атома своими внешними частями именно в силу предположения его полной простоты, исключающей в нем всякие части. Поэтому он должен касаться другого атома теснейшим образом, всей своей сущностью, secundum se, tota et totaliter²³, а это и есть истинное определение проницания. Но проницание невозможно, а следовательно, и математические точки равно невозможны.

Я отвечу на это возражение, заменив данную идею проницания другой, более правильной. Предположим, что два тела, не заключающие внутри себя пустого пространства, приблизятся друг к другу и соединятся таким образом, что тело, являющееся результатом их соединения, по своему протяжению будет не больше каждого из них в отдельности, — вот что мы должны подразумевать, говоря о проницании. Но очевидно, что такое проницание не что иное, как уничтожение одного из этих тел и сохранение другого, причем мы не в состоянии различить в точности, которое из них сохраняется, а которое уничтожается. До их приближения друг к другу у нас есть идея двух тел. После приближения остается только идея одного. Ум совсем не в состоянии сохранить представление о различии двух тел одной и той же природы, существующих в одном и том же месте в одно и то же время.

Но если понимать проницание в смысле уничтожения одного тела при приближении его к другому, то я спрошу кого угодно: видите ли вы необходимость в том, чтобы какая-нибудь цветная или осязаемая точка уничтожалась, приближаясь к другой цветной или осязаемой точке? Не видите ли вы, наоборот, вполне ясно, что от соединения этих точек произойдет сложный и делимый объект, в котором могут быть различены две части, причем каждая из них сохраняет свое раздельное и обособленное существование, несмотря на свою смежность с другой частью. Пусть спрашиваемый призовет на помощь свою фантазию, представив, чтобы предупредить слияние и смешение этих точек, что они различного цвета. Синяя и красная точки, конечно, могут быть смежными друг с другом без всякого проницания или уничтожения, ибо если это невозможно, то что же станет с этими точками? Которая из них уничтожится — красная или синяя? А если оба цвета соединятся в один, то какой же новый цвет они произведут путем своего соединения?

Что главным образом дает повод к этим возражениям и в то же время делает столь трудным удовлетворительный ответ на них, так это присущая как нашему воображению, так и нашим чувствам немощь и неустойчивость, обнаруживающаяся при их применении к столь малым объектам. Поставьте на бумаге чернильное пятно и отойдите на такое расстояние, чтобы пятно это стало совершенно невидимым. Вы заметите, что по мере вашего возвращения и приближения пятно сперва будет становиться видимым через короткие промежутки, потом сделается видимым все время, далее получит только более сильную окраску без возрастания в объеме, а затем, когда оно увеличится до такой степени, что станет реально протяженным, воображению все еще будет трудно разбить его на составные части в силу трудности представить такой малый объект, как единичная точка. Эта неустойчивость влияет на большинство наших рассуждений относительно данного предмета и делает для нас почти невозможным понятным образом и в надлежащих выражениях ответить на многие вопросы, которые могут возникнуть по его поводу.

III. Многие из возражений против неделимости частей протяжения были взяты из математики, хотя на первый взгляд наука эта кажется скорее благоприятной для данной теории: противореча последней в своих доказательствах, она зато совершенно согласуется с ней в своих определениях. Таким образом, моей задачей в настоящее время должны быть защита определений и опровержение доказательств.

Поверхность определяется как длина и ширина без глубины, линия — как длина без ширины и глубины, точка — как нечто не имеющее ни длины, ни ширины, ни глубины. Все это, очевидно, совершенно непонятно при всяком ином предположении, кроме предположения о том, что протяжение составлено из неделимых точек, или атомов. Иначе, как могло бы нечто существовать, не имея ни длины, ни ширины, ни глубины?

На этот аргумент было, насколько я знаю, дано два различных ответа, ни один из которых не является, на мой взгляд, удовлетворительным. Первый состоит в том, что объекты геометрии, т. е. те поверхности, линии и точки, отношения и положения которых она исследует, суть просто идеи в нашем уме и что объекты эти не только никогда не существовали, но и никогда не могут существовать в природе. Они никогда не существовали, ибо никто не станет претендовать на то, чтобы провести линию или образовать поверхность, вполне соответствующую данному определению. Они никогда не могут существовать, ибо мы из самих этих идей можем вывести доказательства их невозможности.

Но можно ли вообразить что-либо более нелепое и противоречивое, чем это рассуждение? Все, что может быть представлено посредством ясной и отчетливой идеи, необходимо заключает в себе возможность своего существования; и всякий, кто берется доказать невозможность существования чего-либо с помощью аргумента, основанного на ясной идее, в действительности утверждает, что у нас нет ясной идеи об этом, потому что у нас есть ясная идея. Напрасно искать какое-либо противоречие в том, что отчетливо представляется нашим умом. Если бы в этом заключалось какое-нибудь противоречие, оно совсем не могло бы быть представлено.

Таким образом, нет ничего среднего между допущением по крайней мере возможности неделимых точек и отрицанием их идеи; последний принцип и лежит в основании второго ответа на вышеизложенный аргумент. Было высказано мнение[22], что хотя невозможно представить длину без всякой ширины, однако с помощью абстракции без разделения мы можем рассматривать первую, не принимая в расчет второй, точно так же как мы можем думать о длине пути между двумя городами, не обращая внимания на его ширину. Длина неотделима от ширины как в природе, так и в наших мыслях; но это не исключает ни частичного их рассмотрения, ни объясненного выше различения разумом.

Опровергая этот ответ, я не стану опираться на уже в достаточной степени выясненный мною аргумент: если ум не может достигнуть минимума в своих идеях, то его способность [представления] должна была бы быть бесконечной, чтобы он мог охватить бесконечное число частей, из которых состояла бы его идея любого протяжения. Я постараюсь теперь найти новые нелепости в этом рассуждении.

Поверхность ограничивает тело, линия — поверхность, точка — линию; но я утверждаю, что, если бы идеи точки, линии или поверхности не были неделимы, мы вовсе не могли бы представить этих ограничений. Предположим, что эти идеи бесконечно делимы, и пусть затем воображение постарается остановиться на идее последней поверхности, линии или точки; оно тотчас заметит, что идея эта распадается на части; остановившись же на последней из этих частей, оно тотчас потеряет точки опоры в силу нового деления и т. д. in infinitum без малейшей возможности дойти до заключительной идеи. Все это количество делений так же мало приближает его к последнему делению, как и первая идея, им образованная. Каждая частица ускользает от схватывания благодаря новому делению, точно ртуть, которую мы пытаемся схватить. Но поскольку фактически должно существовать нечто ограничивающее идею каждого конечного количества и поскольку сама эта ограничивающая идея не может состоять из частей, или более подчиненных идей, иначе последняя из ее частей ограничивала бы собой данную идею и т. д., это и есть ясный довод в пользу того, что идеи поверхностей, линий и точек не допускают деления: идеи поверхностей — по отношению к глубине, идеи линий — по отношению к ширине и глубине, а идеи точек — по отношению ко всякому измерению.

Сила этого аргумента столь чувствовалась схоластиками, что некоторые из них утверждали, будто природа примешала к тем частицам материи, которые делимы до бесконечности, некоторое число математических точек с целью ограничения тел; другие же обходили силу этого рассуждения с помощью массы непонятных ухищрений и различений. И те и другие противники одинаково признают себя побежденными. Тот, кто прячется, столь же очевидно признает превосходство своего врага, как и тот, кто прямо сдает свое оружие.

Итак, определения математиков, по-видимому, подрывают мнимые доказательства; если у нас есть соответствующая этим определениям идея неделимых точек, линий и поверхностей, то и существование их, несомненно, возможно; если же у нас нет такой идеи, то мы вовсе не можем представить себе ограничение какой-либо фигуры, а без такого представления не может быть и геометрического доказательства.

Но я иду дальше и утверждаю, что ни одно из указанных доказательств недостаточно веско для того, чтобы установить такой принцип, каким является принцип бесконечной делимости, и это потому, что в применении к столь малым объектам доказательства эти оказываются, собственно, недоказательствами, будучи построены на неточных идеях и небезукоризненно истинных правилах. Когда геометрия решает что-либо относительно соотношений количества, мы не должны ожидать особой точности: ни одно из ее доказательств не достигает таковой; она берет измерения и соотношения фигур верно, но грубо и с некоторой вольностью. Ошибки ее никогда не бывают значительными, да она бы и вообще не ошибалась, если бы не стремилась к столь абсолютному совершенству.

Прежде всего я спрошу математиков, что они подразумевают, когда говорят, что одна линия или поверхность равна, больше или меньше другой? Пусть ответит на это любой из них независимо от того, к какой секте он принадлежит и придерживается ли он теории, согласно которой протяжение состоит из неделимых точек или же из количеств, делимых до бесконечности. Вопрос этот приведет в смущение сторонников той и другой теории.

Математиков, защищающих гипотезу неделимых точек, либо немного, либо совсем нет, а между тем они-то и могут дать самый легкий и верный ответ на указанный вопрос. Им нужно только ответить, что линии или поверхности равны, когда число точек в каждой из них равно, и что с изменением соотношения между числом точек изменяются и соотношения между линиями и поверхностями. Но, несмотря на точность, а равно и очевидность этого ответа, я все же могу утверждать, что такое мерило равенства совершенно бесполезно и что мы никогда не определяем взаимного равенства или неравенства объектов па основании подобного сравнения. Ввиду того что точки, входящие в состав любой линии или поверхности, независимо от того, воспринимаются ли они зрением или осязанием, так малы и так смешаны друг с другом, что ум совершенно не в состоянии сосчитать их число, подобное счисление никогда и не пригодится нам в качестве мерила суждения о соотношениях. Никто никогда не будет в состоянии определить с помощью точного подсчета, что в дюйме меньше точек, чем в футе, или что в футе их меньше, чем в эле или какой-нибудь большей единице меры; в силу этого мы редко и даже никогда не признаем этот подсчет мерилом равенства или неравенства.

Что же касается тех, кто воображает, что протяжение делимо in infinitum, то они совершенно не могут воспользоваться указанным ответом, т. е. определить равенство какой-нибудь линии или поверхности с помощью подсчета ее составных частей. Ведь, согласно их гипотезе, как наименьшие, так и наибольшие протяженности содержат в себе бесконечное число частей; бесконечные же числа, собственно говоря, не могут быть ни равными, ни неравными друг другу, а, значит, равенство или неравенство каких угодно долей пространства вовсе не может зависеть от соотношения числа их частей. Можно, правда, сказать, что неравенство между элем и ярдом состоит в различных числах составляющих их футов, а неравенство фута и ярда — в числе составляющих их дюймов. Но так как та величина, которую мы называем дюймом в одном случае, предполагается равной той, которую мы называем дюймом в другом, и так как для ума оказывается невозможным определить это равенство путем продолжения in infinitum подобных ссылок на меньшие величины, то очевидно, что в конце концов мы должны установить некоторое мерило равенства, отличное от перечисления частей.

Некоторые[23] утверждают, что равенство лучше всего определяется как совпадение и любые две фигуры бывают равны, когда при наложении одной на другую все их части соответствуют друг другу и взаимно соприкасаются. Чтобы оценить это определение по достоинству, примем во внимание, что равенство, будучи отношением, строго говоря, не является свойством самих фигур, а происходит исключительно от сравнения, которому подвергает их ум. Таким образом, если равенство состоит в этом воображаемом сопоставлении и взаимном соприкосновении частей, то мы должны по крайней мере иметь отчетливое представление об этих частях и представлять себе их соприкосновение. Однако ясно, что при подобном представлении мы будем сводить эти части к самой малой величине, какая только может быть представлена, так как соприкосновение крупных частей еще не делает фигур равными. Но самыми малыми частями, какие мы только можем представить, являются математические точки, а следовательно, данное мерило равенства тождественно тому, которое основано на равенстве числа точек и которое мы уже определили как правильное, но бесполезное. Итак, мы должны искать какое-нибудь иное решение данного затруднения.

Многие философы отказываются указать какое бы то ни было мерило равенства и утверждают, что достаточно показать два равных объекта, чтобы дать нам верное представление об этом соотношении. Всякие определения, говорят они, бесплодны без восприятия подобных объектов; а если мы воспринимаем такие объекты, нам не нужно больше никакого определения. Я совершенно согласен с этим рассуждением и утверждаю, что единственное полезное представление о равенстве или неравенстве получается на основании общего вида отдельных объектов, рассматриваемых целиком, и на основании сравнения их²⁶.

Очевидно, что глаз или, вернее, ум часто способен с первого взгляда определить соотношения тел и решить, равны ли они друг другу, или же одно из них больше либо меньше другого, решить, не рассматривая и не сравнивая числа их минимальных частей. Такие суждения не только обычны, но во многих случаях достоверны и безошибочны. Когда нам показывают такие меры, как ярд и фут, то ум точно так же не сомневается в том, что первый больше второго, как он не сомневается в самых ясных и самоочевидных принципах.

Таким образом, существуют три соотношения, различаемые умом на основании общего вида объектов и обозначаемые с помощью названий больше, меньше, равно. Но хотя решения ума касательно указанных соотношений иногда безошибочны, это не всегда так; и наши суждения по данному поводу так же мало свободны от сомнений и ошибок, как суждения о любом другом предмете. Мы часто исправляем свое первоначальное мнение с помощью критики и размышления, объявляя впоследствии равными те объекты, которые сперва признавали неравными, или же признавая, что какой-нибудь объект меньше другого, тогда как раньше он казался нам больше последнего. И это не единственное исправление, которому подвергаются указанные суждения, [полученные на основании] наших ощущений: мы часто открываем свою ошибку путем приложения объектов друг к другу, а там, где оно неприменимо, — с помощью некоторой общепринятой и неизменной меры, которая, будучи последовательно приложена к каждому объекту, знакомит нас с различными соотношениями этих объектов. Но даже и это исправление допускает новое исправление, достигающее различных степеней точности в зависимости от природы того инструмента, с помощью которого мы измеряем тела, и от той тщательности, с которой мы их сравниваем.

Таким образом, когда ум привыкает к этим суждениям и к их исправлению и находит, что то же самое соотношение, которое придает двум фигурам на глаз вид того, что мы называем равенством, заставляет эти фигуры соответствовать как друг другу, так и любой общепринятой мере, с помощью которой они сравниваются, — мы образуем смешанное представление о равенстве, основанное как на менее, так и на более точных методах сравнения. Но мы не удовлетворяемся этим. Поскольку здравый смысл убеждает нас в том, что существуют тела гораздо меньшие, а ложное рассуждение готово уверить нас в том, что существуют тела и бесконечно меньшие, чем те, которые воспринимаются чувствами, мы ясно видим, что не обладаем таким инструментом или таким искусством измерения, которое могло бы оградить нас от всякой ошибки и неопределенности. Мы сознаем, что прибавление или устранение одной из таких минимальных частей не заметно ни при наблюдении (appearance), ни при измерении, а так как воображаем, что две фигуры, которые были раньше равными, уже не могут быть таковыми после подобного устранения или прибавления, то и предполагаем некоторое воображаемое мерило равенства, с помощью которого точно исправляются как первоначальные общие наблюдения, так и измерения, фигуры же полностью сводятся к указанному соотношению. Мерило это чисто воображаемое. Ведь если сама идея равенства есть идея отдельного наблюдения, исправленного с помощью наложения, или с помощью общепринятой меры, то понятие о таком исправлении, для которого у нас не хватает ни инструментов, ни искусства, является простой фикцией нашего ума, бесполезной и непонятной. Но если это мерило чисто воображаемое, то сама фикция весьма естественна: ведь для ума нет ничего более обычного, чем продление некоторого акта даже по исчезновении того основания, которое сперва побудило его приступить [к данному акту]. Это очень ясно видно на примере времени: очевидно, что хотя у нас нет для определения соотношения его частей метода, равного по точности хотя бы такому методу, который мы применяем к протяжению, однако даже и здесь различные исправления наших мер и различные степени их точности дают нам неясное и нераскрытое понятие о совершенном и полном равенстве. То же наблюдается и во многих других областях. Музыкант, замечая, что его слух делается с каждым днем все тоньше, и исправляя себя с помощью размышления и внимания, продолжает производить то же самое действие ума, даже когда у него уже нет надлежащего материала, и образует понятие совершенной терции или октавы, не будучи в состоянии сказать, откуда он берет этот образец. Художник образует такую же фикцию по отношению к цветам, механик — по отношению к движению. В воображении одного свет и тени, в воображении другого скорое и медленное допускают такое точное сравнение и достигают такого равенства, которые не доступны суждениям наших чувств.

Можно применить то же рассуждение к кривым и прямым линиям. Для чувств нет ничего более очевидного, чем различие между кривой и прямой линиями, и нет таких идей, которые нам легче было бы образовать, чем идеи этих объектов. Но как бы легко мы ни образовывали эти идеи, невозможно дать такое их определение, которое установило бы между ними точные границы. Когда мы проводим линии на бумаге или на любой непрерывной поверхности, то существует известный порядок, в котором эти линии должны проходить от одной точки к другой, чтобы произвести полное впечатление кривой или прямой; но этот порядок совершенно неизвестен нам, и мы не замечаем ничего, кроме общего вида линий. Таким образом, даже с помощью теории неделимых точек мы можем составить лишь отдаленное представление о каком-то неизвестном образце этих объектов. С помощью же теории бесконечной делимости мы не можем достигнуть даже и этого, но должны ограничиваться лишь общим видом в качестве того правила, с помощью которого мы определяем кривизну и прямоту линий. Но хотя мы не можем ни дать совершенного определения этих линий, ни указать точного способа различения одной из них от другой, это не мешает нам исправлять свое первоначальное общее наблюдение путем более точного его рассмотрения и сравнения с некоторым правилом, в справедливости которого благодаря повторным испытаниям мы более уверены. Именно с помощью такого исправления и продолжения того же самого действия ума, даже когда у нас нет на то оснований, мы образуем смутную идею совершенного образца этих линий, не будучи в состоянии ни объяснить, ни понять его.

Правда, математики утверждают, будто они дают точное определение прямой линии, когда говорят, что она есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Но во-первых, замечу я, это скорее указание на одно из свойств прямой линии, чем ее точное определение. Я спрошу кого угодно: разве при упоминании о прямой линии вы не думаете немедленно о некотором определенном внешнем виде и не совершенно ли случайно вы рассматриваете при этом упомянутое свойство? Прямую линию можно представить саму по себе, тогда как указанное определение непонятно без сравнения данной линии с другими, которые мы представляем себе более протяженными. В обыденной жизни считается общепризнанным правилом, что самый прямой путь всегда самый краткий; но [говорить] так было бы столь же глупо, как и утверждать, что кратчайший путь всегда есть кратчайший, если бы наша идея прямой линии не была отлична от идеи кратчайшего пути между двумя точками.

Во-вторых, я повторю то, что уже доказано мной, а именно что у нас нет точной идеи не только о прямой и кривой линиях, но и о равенстве и неравенстве, о более кратком и более долгом и что, следовательно, ни одна из них не может дать нам совершенного образца для других. Точная идея никогда не может быть построена на чем-то смутном и неопределенном.

К идее плоской поверхности так же мало приложим точный образец, как и к идее прямой линии, и у нас нет другого способа различения такой поверхности, кроме [рассмотрения] ее общего вида. Напрасно математики представляют, будто плоская поверхность образуется путем непрерывного передвижения (flowing) прямой линии. На это тотчас можно возразить, что паша идея поверхности так же независима от этого способа образования поверхности, как наша идея эллипса от идеи конуса; что идея прямой линии не точнее идеи плоской поверхности; что прямая линия может передвигаться неправильно и образовать таким образом фигуру, совершенно отличную от плоской поверхности, и что в силу этого мы должны предполагать ее передвигающейся вдоль двух прямых линий, параллельных друг другу, и в той же плоскости, но это такое описание, которое объясняет вещь с помощью ее самой, т. е. вращается в замкнутом кругу.

Итак, наиболее существенные для геометрии идеи, как то: идеи равенства и неравенства, прямой линии и плоской поверхности — при обычном для нас способе их представления, по-видимому, далеко не точны и не определенны. В сколько-нибудь сомнительном случае мы не только не в состоянии сказать, когда такие-то определенные фигуры равны, когда такая-то линия прямая, а такая-то поверхность плоская; мы даже не можем образовать устойчивой и неизменной идеи этого соотношения или этих фигур. Мы и тут прибегаем к слабому и подверженному ошибкам суждению, которое образуем на основании внешнего вида объекта и исправляем с помощью циркуля или общепринятой меры; всякое же предположение о дальнейшем исправлении является или бесполезным, или воображаемым. Напрасно стали бы мы прибегать к обычному доводу и пользоваться предположением о Божестве, всемогущество которого позволяет ему образовать совершенную геометрическую фигуру и провести прямую линию без всякой кривизны, без всякого отклонения. Так как последний образец этих фигур заимствуется исключительно из чувств и воображения, то нелепо говорить о совершенстве, превосходящем суждение этих способностей, если истинное совершенство вещи состоит в согласии ее со своим образцом.

Но если эти идеи так смутны и неопределенны, то я охотно спросил бы любого математика, на чем основана его несокрушимая уверенность не только в более запутанных и темных положениях его науки, но и в самых обычных и очевидных ее принципах. Например, как он докажет мне, что две прямые линии не могут иметь некоторого общего им обеим отрезка или что невозможно провести между двумя точками больше одной прямой линии? Если бы он сказал мне, что эти мнения — очевидная нелепость, противоречащая нашим ясным идеям, я бы ответил следующим образом. Не отрицаю, что если две прямые линии наклонны друг к другу под заметным углом, то нелепо воображать, будто они могут иметь некоторый общий отрезок. Но если предположить, что две линии на протяжении двадцати лиг приближаются друг к другу на дюйм, то я не вижу нелепости в утверждении, что при соприкосновении они сольются воедино. Ибо скажите, прошу вас, на основании какого правила или образца вы выносите суждение, когда утверждаете, что линия, в которой они, по моему предположению, сливаются, не может быть такой же прямой, как те две линии, которые образуют столь небольшой угол? У вас, конечно, должна быть некоторая идея прямой линии, с которой данная линия не согласуется. Вы, быть может, хотите сказать, что точки в ней расположены не в том порядке и не в соответствии с тем правилом, которые составляют отличительную особенность прямой линии и существенны для нее? Если так, то я должен сообщить вам следующее: высказывая подобное суждение, вы, во-первых, допускаете, что протяжение составлено из неделимых точек (а это, быть может, больше, чем вы намерены допустить). Кроме того, я должен сообщить вам, что и эта [ваша идея] не тот образец, на основании которого мы составляем идею прямой линии, а если бы она даже и была таковым, то ни нашим чувствам, ни нашему воображению недостает надлежащего постоянства для определения того, когда указанный порядок нарушается и когда он сохраняется. Первоначальным образцом прямой линии в действительности является не что иное, как некоторый общий образ; и очевидно, что прямые линии могут сливаться друг с другом и тем не менее соответствовать этому образцу, хотя бы и исправленному с помощью каких угодно реально применяемых или воображаемых способов.

Куда бы ни обратились математики, они всегда наталкиваются на следующую дилемму. Если они судят о равенстве или о каком-нибудь другом соотношении с помощью непогрешимого и точного мерила, т. е. с помощью перечисления минимальных неделимых точек, то они, во-первых, пользуются бесполезным на практике мерилом, а во-вторых, на деле устанавливают неделимость протяжения, которую стараются опровергнуть. Если же они пользуются, как это обычно бывает, неточным мерилом, полученным в результате сравнения общего вида объектов и исправления [этого сравнения] с помощью измерения и наложения, то их основные принципы, несмотря на достоверность и непогрешимость, оказываются слишком грубыми для тех тонких заключений, которые обычно из них выводят. Основные принципы опираются на воображение и чувства, следовательно, и заключение из них не может выходить за пределы этих способностей, а тем более не может противоречить последним²⁷.

Это может несколько открыть нам глаза и показать, что ни одному геометрическому доказательству бесконечной делимости протяжения не присуща та сила, которую мы, естественно, приписываем всякому аргументу, выступающему со столь громкими притязаниями. В то же время мы узнаем и причину, в силу которой геометрии недостает очевидности именно в этом пункте, тогда как все остальные ее рассуждения заслуживают полного нашего согласия и одобрения. В самом деле, выяснить причину этого исключения, по-видимому, даже более необходимо, чем указать на то, что мы действительно должны сделать такое исключение, т. е. признать все математические аргументы в пользу бесконечной делимости безусловно софистическими. Ведь очевидно, что если ни одна идея количества неделима до бесконечности, то нельзя вообразить более явной нелепости, чем стремление доказать, что само количество допускает такое деление, и притом доказать это с помощью идей, свидетельствующих как раз о противоположном. А так как указанная нелепость сама по себе весьма очевидна, то и всякий основанный на ней аргумент связан с новой нелепостью и заключает в себе очевидное противоречие.

В качестве примера я могу привести те аргументы в пользу бесконечной делимости, которые основаны на [рассмотрении] точки касания. Я знаю, что ни один математик не согласится с тем, чтобы о нем судили по тем чертежам, которые он чертит на бумаге; он скажет нам, что это лишь неточные наброски, служащие только для того, чтобы более легко вызывать некоторые идеи, которые и являются истинной основой всех наших рассуждений. Я ничего против этого не имею и готов в нашем споре принимать в расчет исключительно данные идеи. Итак, я попрошу математика образовать как можно точнее идеи круга и прямой линии, а затем спрошу его: может ли он, представляя себе соприкосновение этих линий, представить их соприкасающимися в одной математической точке, или же он вынужден представлять себе, что они совпадают в некоторой области? На какую бы позицию ни встал математик, он столкнется с одинаковыми трудностями. Если он станет утверждать, что, прослеживая эти линии в воображении, не может вообразить их иначе как соприкасающимися в одной математической точке, он вместе с тем допустит возможность этой идеи, а следовательно, и самой вещи²⁸. Если же он скажет, что, представляя соприкосновение этих линий, должен заставить их совпасть, он тем самым признает ошибочность геометрических доказательств, применяемых за пределами некоторой степени малости; ведь известно, что у него есть такие доказательства против совпадения круга и прямой линии. Иными словами, он может доказать несовместимость некоторой идеи, т. е. идеи совпадения, с двумя другими идеями, т. е. идеями круга и прямой линии, хотя в то же время он признает, что эти идеи неотделимы друг от друга.