1. ТЕЗИС ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

1. ТЕЗИС ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Тезисом называется суждение, или положение, истинность (или ложность) которого выясняется посредством данного доказательства. Доказываемый тезис обычно не имеет очевидности. Так, доказываемое в геометрии положение о том, что площадь круга равняется произведению числа ?, выражающего отношение длины окружности круга к длине его диаметра, на квадрат радиуса круга, не есть положение самоочевидное. Истинность его обнаруживается доказательством. И так обстоит дело с громадным большинством доказываемых положений.

Даже в случаях, когда доказываемый тезис представляется очевидным, он всё же обычно доказывается (это особенно относится к математике). Так обстоит дело, например, с положением, что диаметром круг делится на две равные части. То, что мыслится в этом положении, представляется очевидным. Однако в геометрии суждение это, несмотря на явную очевидность утверждаемого в нём, доказывается.

Пример этот — не исключение, а иллюстрация общего правила. Наука стремится доказывать, по возможности, всё, что только может быть доказано, безотносительно к тому, очевидно или неочевидно доказываемое.

Это стремление не оставлять, насколько возможно, ни одного положения недоказанным вытекает, во-первых, из уже выясненного выше значения доказательности для научного мышления. Во-вторых, стремление это обусловлено тем, что очевидность нас иногда обманывает. Так, если мы станем между рельсами на полотне железной дороги и поглядим вдаль, то нам непременно покажется, будто рельсы, параллельные на недалёком от нас расстоянии, вдали от нас сходятся в одной точке. Однако очевидность эта обманчива. В действительности рельсы и вдали от нас остаются параллельными.

Так как очевидность во многих случаях вводит нас в заблуждение, то наука стремится как можно меньше полагаться на одну лишь очевидность. Неочевидное доказывается потому, что оно неочевидно, очевидное проверяется доказательством. Поэтому наука всюду, где это только возможно, не оставляет без доказательства даже таких положений, которые представляются совершенно «наглядными», очевидными.

Выяснение истинности или ложности тезиса есть цель всякого доказательства. Доказательство, посредством которого выясняется истинность тезиса, называется просто доказательством. Доказательство, посредством которого выясняется ложность тезиса, называется опровержением. Опровергнуть некоторый тезис — значит доказать, что он ложен, т. е. не соответствует действительности.

Доказательство, в результате которого истинность доказываемого тезиса (или ложность опровергаемого тезиса) выясняется с полной необходимостью и непреложностью, будет безупречным с логической точки зрения.

Доказательство, не приводящее к этому результату, будет ошибочным, или, по крайней мере, неточным в логическом отношении.

Независимо от степени субъективной уверенности доказывающего в истинности доказываемого конечный успех доказательства возможен лишь в том случае, если доказываемый тезис — безотносительно к тому, что о нём думает сам доказывающий,— истинен по существу своего содержания. Можно успешно доказать истинность лишь того, что действительно истинно. И точно также можно успешно доказать ложность только того, что действительно ложно.

Поэтому первое условие, необходимое для безупречности доказательства, есть истинность тезиса по существу его содержания[10]. Разумеется, истинность тезиса до того, как он доказан, не видна, не усматривается нашей мыслью, но само соответствие тезиса действительности, пусть ещё не дошедшее до уяснения, непременно должно существовать, для того чтобы тезис вообще мог быть доказан.

Если тезис сам по себе истинен, всегда существует возможность доказать его истинность. Возможно, что на первых порах способ доказательства окажется не достигающим цели, ошибочным. В таком случае задача науки заключается в том, чтобы вместо несостоятельного, ошибочного или неточного доказательства истинного тезиса найти другое — правильное, более точное, ведущее к цели. История наук знает немало случаев, когда положения, впоследствии оказавшиеся истинными, первоначально доказывались неточно или даже прямо ошибочным способом, и лишь с новыми успехами науки ошибки в способе доказательства устранялись, а логически неточные способы доказательства заменялись новыми, логически безупречными.

Например, многие доказательства предложений, разработанные античными геометрами, оказались впоследствии недостаточно строгими. Особенно интересно то, что больше всего неточностей оказалось в доказательствах самых первых, элементарнейших предложений. Факт этот легко объясняется. Дело в том, что при доказательстве первых предложений античные геометры в ряде случаев полагались на наглядное представление (или, как иногда называют наглядное представление, на «интуицию»). Так, уже при доказательстве первого предложения первой книги «Начал» (о построении равностороннего треугольника на данной ограниченной прямой) Евклид прибегает для доказательства к построению двух пересекающихся окружностей. Однако, вместо того чтобы строго доказать возможность этой пересекаемости, он просто предполагает эту возможность, опираясь при этом на наглядное представление и не допуская, что оно может быть ошибочным. Пример этот у Евклида — не исключение. Согласно замечанию советского комментатора «Начал» Евклида профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского, античные геометрические доказательства имеют настолько явный «полуинтуитивный характер», что из всех составных частей, на которые расчленяется античное геометрическое доказательство, «только один член относится к логической операции, все другие относятся к словесной форме или к чертежу»[11].

Неудивительно поэтому, что в новое время, когда было выяснено, что не всякое наглядное представление безусловно истинно, для теорем, которые доказывались в античной геометрии ссылками на очевидность или наглядность, пришлось разработать более строгие и точные способы доказательства.

Но какой бы ни была степень точности и строгости доказательства, первым условием возможной его безупречности является истинность доказываемого тезиса, т. е. адекватное отражение в нём действительности.

И точно так же для безупречности опровержения первым необходимым условием является действительная ложность опровергаемого положения, его действительное несоответствие фактам. Если опровергаемое положение ложно, то раньше или позже способ его опровержения может быть найден и будет найден. Но если положение, которое пытаются опровергнуть, само по себе истинно, то никакие попытки и ухищрения, какие делаются для его опровержения, не могут привести к цели, и опровергаемое положение останется неопровергнутым.

Убедительным подтверждением сказанного может быть позорное крушение бесчисленных попыток, которые делались и делаются буржуазными социологами и философами для опровержения марксизма. О тщетности этих попыток превосходно говорит в работе «Аграрный вопрос и «критики Маркса»» В. И. Ленин: «Вот уже много лет ученые и ученейшие люди Европы важно заявляют (а газетчики и журналисты повторяют и пересказывают), что марксизм уже сбит с позиции «критикой»,— и тем не менее каждый новый критик опять сначала начинает трудиться над обстреливанием этой якобы уже разрушенной позиции»[12].