б) Определения как основания доказательства
б) Определения как основания доказательства
В состав оснований доказательства входят, кроме положений об удостоверенных фактах, также и определения основных понятий данной науки. В самом деле: доказательство есть переход от положений, уже ранее принятых, к некоторому новому положению, истинность которого необходимо следует из истинности принятых положений. Однако не все из числа этих ранее принятых положений доказываются: некоторые из них представляют собой просто определения основных понятий науки. Так, доказательство теоремы о сумме внутренних углов плоского треугольника в евклидовой геометрии опирается не только на ранее доказанные теоремы о свойствах внутренних накрест лежащих углов, соответственных углов и смежных углов и не только на принимаемое без доказательства положение о параллельных, но также и на определения понятий «плоский треугольник», «внутренние углы плоского треугольника», «параллельные линии», «внутренние накрест лежащие углы», «соответственные углы», «смежные углы», «прямые углы».
Но из того, что определения — в качестве определений — не доказываются, а просто формулируются, отнюдь не следует, будто определения принимаются произвольно или представляют простые «соглашения» относительно смысла тех или иных терминов. Чтобы определение было пригодным для науки, необходимо, чтобы определяемый предмет существовал в самой действительности. Поэтому и в математических науках, и в естествознании, и в науках общественных принятие определения всегда предполагает, что может быть доказано существование характеризованного посредством определения предмета. Условно лишь словесное обозначение предмета (свойства, явления, отношения), но не сам предмет как существующий в действительности. Существование же определяемого предмета может быть и должно быть доказано. Должно быть доказано также соответствие определения определяемому предмету.
Определение понятий необходимо, так как оно — и только оно — даёт возможность во всех рассуждениях, посредством которых в доказательстве совершается переход от доказанного к доказываемому, мыслить входящие в эти рассуждения основные понятия науки в одном и том же содержании и, таким образом, мыслить посредством этих понятий одни и те же предметы.
Наличие определений в составе оснований не значит, однако, будто все определения, необходимые для данного доказательства, непременно формулируются в самом данном доказательстве. Обычно определения формулируются не в каждом данном доказательстве, а в начале изложения науки или, по крайней мере, того раздела науки, к которому относится данное доказательство. Так, в «Началах» Евклида определениями основных понятий начинается каждая книга этого труда. При этом определения в каждой следующей книге новые и не повторяют определений, данных в предыдущих книгах. Но, не появляясь вновь в каждом данном доказательстве, определения понятий, необходимые для точного проведения данного доказательства, непременно им предполагаются и всегда могут быть найдены в соответствующем месте изложения.
Однако из того, что в число оснований, общих для всех доказательств данной науки, входят определения основных понятий данной науки, ещё не следует, будто определению подлежат все без исключения понятия данной науки. И действительно: определить — значит свести неизвестное к известному, сложное к простому. Но есть предметы настолько простые и настолько всем известные, что определить понятия об этих предметах невозможно. Всякая попытка такого определения приводит или к тому, что в определяющем повторяется определяемое (круг в определении), или к тому, что до определения понятное и ясное после определения становится непонятным и неясным.
Таким образом, задача науки в отношении определения понятий, входящих в основания доказательства, состоит в том, чтобы избежать двух противоположных ошибок: 1) не оставить не определёнными те понятия, которые должны быть определены, и 2) не пытаться понапрасну определять те понятия, которые по своей крайней простоте не могут быть определены.
Это правильное понимание задачи определения оснований доказательства хорошо сформулировал Паскаль. В небольшой работе «О геометрическом уме» (De l’esprit g?om?trique) Паскаль писал: «... порядок, совершеннейший у людей, состоит не в том, чтобы всё определять и всё доказывать, и не в том также, чтобы ничего не определять и ничего не доказывать; но в том, чтобы, держась среднего пути, не определять вещей, ясных и понятных всем людям, но определять все остальные, и не доказывать всех вещей, известных людям, но доказывать все остальные»[15].
Поэтому число определений, входящих в основания доказательств данной науки и формулируемых в начале её изложения, обычно бывает невелико и без нужды не должно быть увеличиваемо.