3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения?

3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения?

Кого-то из читателей, возможно, до сих пор не оставляет ощущение, что некоторые рассуждения, положенные в основу представленных доказательств, в чем-то парадоксальны и кое-где даже недопустимы. В частности, в §§3.14 и 3.16 имеются фрагменты, несколько отдающие самоотносимостью в духе «парадокса Рассела» (см. §2.6, комментарий к Q9). А когда в §3.20 мы рассматривали ?₁-высказывания со сложностью, меньшей некоторого числа c, читатель мог заметить в наших построениях пугающее сходство с известным парадоксом Ричарда, героем которого является

«наименьшее число, описание которого содержит не меньше тридцати одного слога».

Суть парадокса в том, что для описания этого самого числа используется фраза, состоящая всего из тридцати слогов! Этот и другие подобные парадоксы возникают благодаря тому обстоятельству, что ни один естественный язык не свободен от двусмысленностей и даже противоречий[27]. Наиболее прямолинейно эта языковая противоречивость проявляется в следующем парадоксальном утверждении:

«Это высказывание ложно».

Существует множество других парадоксов подобного рода, причем большинство из них гораздо более хитроумны.

Опасность получения парадокса возникает всякий раз, когда в рассуждении, как и в вышеприведенных примерах, присутствует сильный элемент самоотносимости. Кто-то, возможно, отметит, что элемент самоотносимости содержится и в гёделевском доказательстве. В самом деле, самоотносимость играет в теореме Гёделя определенную роль, как можно видеть в представленном в §2.5 варианте доказательства Гёделя—Тьюринга. Однако парадоксальность не является непременным и обязательным атрибутом таких рассуждений, — хотя, конечно же, при наличии самоотносимости необходимо, во избежание ошибок, проявлять особую осторожность. Свою знаменитую теорему Гёдель сформулировал, вдохновившись одним известным самоотносимым логическим парадоксом (так называемым парадоксом Эпименида). При этом ошибочное рассуждение, приводящее к парадоксу, Гёделю удалось трансформировать в логически безупречное доказательство. Так же и я приложил все старания к тому, чтобы заключения, к которым я пришел, основываясь на полученных Гёделем и Тьюрингом выводах, не оказались самоотносимыми в том смысле, который неизбежно приводит к парадоксу, хотя, справедливости ради, следует признать, что некоторые из моих рассуждений имеют с такими характерными парадоксами разительное и даже фамильное сходство.

Рассуждения, представленные в §3.14 и, особенно, в §3.16, могут показаться не совсем состоятельными именно в этом отношении. Например, определение ?_M-утверждения является в высшей степени самоотносимым, поскольку представляет собой сделанное роботом утверждение, причем осознаваемая истинность этого утверждения зависит от предположений самого робота относительно особенностей его первоначальной конструкции. Здесь можно, пожалуй, усмотреть неприятное сходство с утверждением «Все критяне — лжецы», прозвучавшим из уст критянина. И все же в этом смысле самоотносимыми ?_M-утверждения не являются, так как на самом деле они ссылаются не на самих себя, а на некую гипотезу об исходной конструкции робота.

Предположим, что некто вообразил себя роботом, пытающимся установить истинность какого-то конкретного четко сформулированного ?₁-высказывания P₀. Робот, возможно, окажется неспособен непосредственно установить, является ли высказывание P₀ в действительности истинным, однако он может обратить внимание на то, что истинность P₀ следует из предположения, что истинным является каждый член некоторого вполне определенного бесконечного класса ?₁-высказываний S₀ (пусть это будут, скажем, теоремы формальной системы Q(M), или Q_M(M), или какой угодно другой системы). Робот не знает, на самом ли деле каждый член класса S₀ является истинным, однако он замечает, что класс S₀ есть часть результата некоторого вычисления, причем посредством этого вычисление осуществляется построение некоторой модели сообщества математических роботов, а результат S₀ представляет собой семейство ?₁-высказываний, ?-утверждаемых этими самыми моделируемыми роботами. Если механизмы, лежащие в основе этого сообщества роботов, совпадают с набором механизмов M, то высказывание P₀ представляет собой пример ?_M-утверждения. А наш робот придет к выводу, что если он сам построен в соответствии с набором механизмов M, то высказывание P₀ также должно быть истинным.

Рассмотрим случай с более тонким ?_M-утверждением (обозначим его P₁): робот отмечает, что истинность P₁ является следствием истинности всех членов другого класса ?₁-высказываний (например, S₁), который можно получить из результата того же самого вычисления, моделирующего сообщество роботов (на основе механизмов M), только на этот раз существенная часть результата состоит из, скажем, тех ?₁-высказываний, истинность которых моделируемые роботы способны установить как следствие истинности всего класса S₀. Что же побудит нашего робота заключить, что истинность высказывания P₁ есть непременное следствие допущения, что он построен в соответствии с механизмами M? Его рассуждение будет выглядеть приблизительно так: «Если в основе моей конструкции лежат механизмы M, то, как я уже установил ранее, необходимо признать, что класс S₀ включает в себя только истинные высказывания; согласно же утверждениям моих моделируемых роботов, истинность каждого из высказываний класса S₁ также следует из истинности всех высказываний класса S₀, равно как и истинность высказывания P₀. Таким образом, если предположить, что я и в самом деле построен в соответствии с теми же принципами, что и мои моделируемые роботы, то я должен признать, что каждый отдельный член класса S₁ является истинным. А поскольку я понимаю, что истинность всех высказываний класса S₁ подразумевает истинность высказывания P₁ я, должно быть, могу вывести и истинность P₁, исходя лишь из того же самого допущения относительно своей конструкции».

Далее можно перейти к еще более тонкому ?_M-утверждению (скажем, P₂), которое возникает в том случае, когда робот замечает, что истинность P₂ оказывается не чем иным, как следствием допущения истинности всех высказываний класса S₂, истинность же каждого члена S₂, если верить моделируемому сообществу роботов, является следствием истинности всех без исключения членов S₀ и S₁. И здесь наш робот оказывается вынужден признать истинность P₂ на том лишь основании, что он построен в соответствии с набором механизмов M. Эту цепочку можно, очевидно, продолжать и дальше, приводя ?_M-утверждения все большей и большей тонкости (P_?), истинность которых будет следовать из допущения истинности всех членов классов S₀, S₁, S₂, S₃, … и так далее, включая и классы с индексами более высокого порядка (см. возражение Q19 и последующий комментарий). В общем случае, главной характеристикой ?_M-утверждения для робота является осознание последним того обстоятельства, что коль скоро он предполагает, что механизмы, обусловливающие поведение моделируемых роботов, совпадают с механизмами, лежащими в основе его собственной конструкции, то ему ничего не остается, как заключить, что отсюда непременно следует истинность рассматриваемого утверждения (?₁-высказывания). В этом рассуждении нет ничего от тех внутренне противоречивых методов рассуждения, к числу которых принадлежит, в частности, парадокс Рассела. Представленные ?_M-утверждения строятся последовательно посредством стандартной математической процедуры трансфинитных ординалов (см. §2.10, комментарий к Q19). (Все эти ординалы счетны и далеки от тех логических неприятностей, которые постоянно сопутствуют обычным числам, «слишком большим» в том или ином смысле^{48}).

У робота нет иных причин принимать на веру любое из этих IIi-высказываний, кроме как исходя из допущения, что он построен в соответствии с набором правил M, впрочем, для доказательства ему этой веры вполне хватает. Возникающее впоследствии действительное противоречие не является математическим парадоксом (подобным парадоксу Рассела) — это самое обыкновенное противоречие, связанное с предположением, что ни одна целиком и полностью вычислительная система не может обрести подлинного математического понимания.

Вернемся к роли самоотносимости в рассуждениях §§3.19-3.21. Называя величину c пределом сложности, допустимым для ?-утверждений, полагаемых безошибочными, с целью построения формальной системы Q*, я никоим образом не привношу в свое рассуждение неуместной здесь самоотносимости. Понятие «степень сложности» можно определить вполне точно, как, собственно, и обстоит дело с тем конкретным определением, которое мы использовали в наших рассуждениях, а именно: «степень сложности есть количество знаков в двоичном разложении большего из пары чисел m и n, фигурирующих в обозначении вычисления T_m(n), представляющего рассматриваемое ?₁-высказывание». Мы можем воспользоваться представленными в НРК точными спецификациями машин Тьюринга, положив, что T_m есть не что иное, как «m-я машина Тьюринга». Тогда никакой неточности в этом понятии не будет.

Проблема возможной неточности может возникнуть при решении вопроса о том, какие именно рассуждения мы будем принимать в качестве «доказательств» ?₁-высказываний. Однако в данном случае некоторый недостаток формальной точности является необходимой составляющей всего рассуждения. Если потребовать, чтобы совокупность аргументов, принимаемых в качестве обоснованных доказательств ?₁-высказываний, была целиком и полностью точной и формальной — читай: допускающей вычислительную проверку, — то мы снова окажемся в ситуации формальной системы, над которой грозно нависает гёделевское доказательство, явным образом демонстрируя, что любая точная формализация подобного рода не может представлять всю совокупность аргументов, пригодных, в принципе, для установления истинности ?₁-высказываний. Гёделевское доказательство показывает — к добру ли, к худу ли, — что никаким допускающим вычислительную проверку способом невозможно охватить все приемлемые человеком методы математического рассуждения.

Читатель, возможно, уже беспокоится, что все мои рассуждения здесь затеяны с целью получить точное определение понятия «роботово доказательство» посредством хитрого трюка с «безошибочными ?-утверждениями». В самом деле, при введении гёделевского рассуждения необходимым предварительным условием было как раз получение точного определения этого понятия. Возникшее же в результате противоречие просто послужило еще одним подтверждением того факта, что человеческое понимание математической истины невозможно полностью свести к процедурам, допускающим вычислительную проверку. Главной целью всех представленных рассуждений было показать, посредством reductio ad absurdum, что человеческое представление о восприятии неопровержимой истинности ?₁-высказываний невозможно реализовать в рамках какой бы то ни было вычислительной системы, будь она точной или какой-либо иной. В этом нет никакого парадокса, хотя кому-то полученные выводы могут показаться весьма и весьма тревожными. Получение противоречивых выводов является вполне естественным и даже единственно возможным завершением любого доказательства, построенного на reductio ad absurdum; кажущаяся парадоксальность этих выводов служит лишь для того, чтобы полностью исключить из рассмотрения то самое предположение, с которого доказательство, собственно, и начиналось.