Глава 2. Единство и множество

§ 1. Элементы чистого количества суть: 1) единство; 2) множество; 3) их отношение; 4) их сочетание.

§ 2. Единство и множество суть противоположные определения количества; но каждое из них, взятое отдельно как исключающее другое, является противоречащим определением.

§ 3. Количество, взятое как единое, тождественно с заключающимся в нём многим. Чтобы исключить из него многое, необходимо его разделить. Но разделённое количество, исключившее из себя другое, всё-таки есть количество, а потому внутри себя многое, следовательно, опять делимо. Логически нельзя положить количество, которое бы не заключало в себе ещё меньшее. Этот процесс идёт в бесконечность. Таким образом, бесконечная делимость составляет основное, логически необходимое свойство количества. Чисто единое есть предел, который в количественной области не достигается. Чтобы получить его, необходимо выйти из количества.

Примеч. Свойственная количеству бесконечная делимость, или бесконечное уменьшение, так же как и бесконечное увеличение, доказывают, что это — чисто логическое, или умозрительное определение. Всякое опытное определение, имеющее своим источником ограниченное впечатление, по существу своему ограниченно; только разуму как таковому свойственно выходить из всяких границ, или идти в бесконечность. Поэтому процесс в бесконечность есть чисто логический процесс, и всякое определение, которому, по самому понятию, свойствен этот процесс, есть чисто логическое определение.

§ 4. С другой стороны, и для получения чистого множества необходимо идти в бесконечность. Множество, отрицающее единство, тоже получается путём разделения; но так как каждое полученное разделением количество есть опять количество, то есть соединённое многое, то для исключения единства его необходимо опять разделить, и т.?д. без конца. Таким образом, чисто единое и чисто многое оказываются неуловимыми определениями: с положением одного является и другое, чем самым полагается основное их тождество, а вместе — необходимость их сочетания.

§ 5. Это сочетание состоит в том, что всякое количество есть единое и многое вместе — величина. Величина есть количество определённое, или определённое единство множества.

§ 6. Определение устанавливается отношением к другим. Величина есть определённая величина вследствие того, что она больше или меньше других.

§ 7. По свойству количества, увеличение и уменьшение идут в бесконечность; а так как всякое увеличение и уменьшение дают новую величину, то и величин может быть бесконечное множество.

§ 8. Всякое прибавление даёт большую величину, а всякое убавление — меньшую. Посередине стоит равенство, которое есть отношение количества к себе, или тождество с собой.

§ 9. Образуя середину между большим и меньшим, равенство даёт одно определённое отношение; напротив, отношений большего к меньшему или меньшего к большему, в силу § 7, может быть бесконечное множество.

§ 10. Но и отношения могут быть равны или неравны между собой (см. «Логика», ч. 3, гл. 4, § 9). Отсюда разделение равенства на равенство числительное и равенство пропорциональное. Таким образом, количественные отношения образуют две перекрещивающиеся противоположности.

§ 11. Равенством пропорциональным, которое выражается формулой: a/b=c/d определяются отношения разных величин; равенство же числительное, выражаемое формулой: А=а+а+а… или А=а+b+с… определяет отношения различных элементов одной и той же величины.

§ 12. Эти элементы суть единство и множество. Как единое, величина есть целое: как многое, она состоит из частей.

§ 13. При равенстве целого и частей, отношение их может быть двоякое: в форме соединения или в форме разделения. Части могут образовать целое или совпадая, или исключая друг друга. Первое даёт величину интенсивную, второе даёт величину экстенсивную.

Примеч. Переход от одной формы в другую даёт напряжение, которое есть стремление совпадающих частей исключить друг друга. Это — форма, присущая всякой силе.

§ 14. Но и в экстенсивной величине, части, образуя целое, не отделяются друг от друга, а сливаются вместе. Величина как таковая, независимо от других определений, есть количество непрерывное, то есть такое количество, в котором части непосредственно переходят одна в другую.

§ 15. От других же величин каждая величина отделяется вытекающим из определения пределом, или границей.

§ 10. Граница каждой величины есть вместе граница другой. Следовательно, и через границу величина непосредственно, или непрерывно переходит в другую. Это выражается в том, что прибавление и убавление идут в непрерывной постепенности.

§ 17. Таким образом, граница величины является изменчивой. Величина есть то, что может увеличиваться и уменьшаться. В этом состоит существенный её признак.

Примеч. Таково определение величины в математике.

§ 18. Увеличение и уменьшение, будучи выражением изменяющейся границы, логически идут в обе стороны в бесконечность. Пределы их, или крайние границы, суть всё и ничего; первое есть предел объединения, второе — предел разделения.

§ 19. Таким образом, в понятии величины заключаются все категории чистого количества: единое, многое, всё и ничего.

Примеч. Экстенсивное количество как необходимая форма всякого внешнего сосуществования, есть пространство, которое поэтому необходимо представляется непрерывным и безграничным. Представляемое нами пространство совпадает с этим чисто количественным понятием, из чего явствует умозрительное его происхождение. Отсюда следует, что все рассуждения о том, что наше пространство составляет будто бы нечто специальное, зависящее от особенного устройства наших внешних чувств, основано только на неясности мысли.

§ 20. Двоякий предел величины, высший и низший, даёт новую противоположность количества: оно является как безграничное и граница.