Глава 4. Закон исключения третьего

§ 1. Закон исключения третьего формулируется так: А есть или Б или не Б.

§ 2. Элементы суждения суть: 1) А, которое есть определение, заключающее в себе как возможные обе противоположности и простирающееся одинаково на ту и другую; 2) два противоположных определения: Б и не Б, которые могут быть присвоены А; 3) их отношение, выражаемое частицами: или-или, выражающими разделение. Этим отношением исключается не только одно из другого, но и всякое третье.

§ 3. Отсюда следует, что совокупный объём А делится между Б и не Б, так что для третьего, которое может быть или посторонним или переходным, то есть отрицанием или совмещением обоих, не остаётся места.

§ 4. Исключение постороннего следует из самого отношения положения к отрицанию. Всё, что исключается из положения, принадлежит к отрицанию; а потому эти два противоположных определения наполняют объём всякого понятия.

§ 5. Исключение среднего предполагает точно определённую границу между положением и отрицанием, а так как границей определяется объём, а объём есть количественное определение, то этот закон прилагается только там, где есть количественные определения.

§ 6. Отношение закона исключения третьего к количественным определениям явствует из самых его элементов: 1) им определяется совокупный объём А; 2) этот совокупный объём распределяется между двумя противоположными определениями, из которых каждое опять имеет свой совокупный объём; 3) исключается третье, что также есть количественное определение. Это выражается в самой форме закона, который есть закон исключения третьего. Таким образом, прилагаясь, как и все законы мышления, ко всем категориям, закон исключения третьего, по существу своему, принадлежит к категориям количества.

§ 7. Это отношение вытекает из самих свойств количества, в отличие от качества. Количество есть соединение и разделение безразличного; поэтому отрицание соединения есть положение разделения и обратно, вследствие чего весь объём понятия точно распределяется между обоими. Качественные же различия бесконечны, а потому отрицание одного оставляет место для совершенно неопределённого объёма остальных. По этой же причине здесь допускаются неопределённые смешения различного, дающие новые качества, отличные от прежних, но не исключаемые законом, тогда как в безразличном нет смешения, а есть только соединение и разделение, которые определяются точными границами.

§ 8. Сама граница есть среднее между Б и не Б, третье между ними; но к ней прилагается тот же закон: А находится или в границе или вне границы; если оно вне границы, то оно лежит по эту или по ту сторону.

Примеч. Способы рассуждения, представляющие приложение закона исключения третьего, постоянно употребляются в математике; они составляют специальную её принадлежность, а вместе и её силу. Так, например: количества или равны или не равны, совпадают или не совпадают; неравные больше или меньше; несовпадающие лежат по ту или по другую сторону. Употребление того же способа размышления в других областях есть приложение математической методы и допустимо только там, где есть возможность совершенно точно определить понятие, или где можно пренебрегать средними терминами. Точных определений вне математики этим путём трудно достигнуть, а потому этот приём не имеет существенного значения. Известно, что Платон этим способом определил человека как двуногое животное без перьев, Диоген в ответ принёс ему ощипанного петуха.

§ 9. Граница, в свою очередь, или разделяет или совмещает противоположные определения. Она совмещает их при совпадении, разделяет при отношении.

Так, равенство составляет границу между большим и меньшим. Им выражается или совпадение различных количеств, например: 2=1+1, или их отношение при разделении, например, 2=4/2=6/3=8/4.

Первое есть равенство числительное, второе — равенство пропорциональное. Таким образом, мы и для количественных определений имеем две перекрещивающиеся противоположности, но с точным определением границ: равенство составляет середину между большим и меньшим, и, в свою очередь, распадается на числительное и пропорциональное.

§ 10. Отношение большего к меньшему может быть постоянное или изменяющееся. В последнем случае сама граница является изменяющейся. Но и тут прилагается закон исключения третьего: изменяющаяся граница может быть непрерывная или прерывающаяся; она доходит до известного предела или выходит из всякого предела, простираясь до самых пределов количества, то есть от нуля до бесконечности; она может быть увеличивающаяся или уменьшающаяся, то есть идти от нуля к бесконечности или от бесконечности к нулю; она может идти в ту или другую сторону, что даёт положительные или отрицательные величины. Все эти определения составляют основания для совершенно точных вычислений математики.