2. Становление единства качественной и количественной определенности в мере

2. Становление единства качественной и количественной определенности в мере

В предыдущем параграфе рассматривалась взаимосвязь количественных и качественных изменений в процессе становления новой качественной определенности. Между тем само существование качественной определенности предполагает наличие закономерной связи между количественными и качественными изменениями, которая отражается в мере. Категория меры характеризует единство количественной и качественной определенности объекта. Это единство имеет различные аспекты, каждый из которых существен для понимания динамики взаимосвязи количественной и качественной определенности в мере. Каждый такой аспект представляет собой проявление тождества количества и качества как противоположных сторон меры, единство которых образует ее определенность. Поскольку количество и качество выступают как противоположности, они не только взаимно исключают, но и взаимно обусловливают друг друга, переходят друг в друга, обнаруживают свое тождество в этом переходе и в конечном счете порождают относительно устойчивую форму своего единства. Рассмотрим теперь закономерности перехода количества в качество, в силу которого завершается процесс становления единства количественной и качественной определенности. В мере как качественном количестве выражена прежде всего зависимость качества от определенного количества: всякое количество несет в себе специфическое качество.

Это положение имеет важное методологическое значение. Если то или иное свойство материального объекта количественно изменилось, то следует ожидать, что в каком-то отношении данный материальный объект изменился и качественно. Можно выделить ряд аспектов единства количества и качества в мере.

Первый заключается в том, что всякое количественное изменение является изменением качества. Однако количество и качество остаются лишь двумя сторонами меры. Это означает, что их тождество не абсолютно, оно содержит и различие. Количественные изменения могут приводить к изменениям качественным, но могут и не приводить к ним. Если бы всякое количественное изменение всегда приводило к изменениям качественным, то тождество количества и качества стало бы абсолютным и само понятие количественного изменения потеряло бы смысл. Второй аспект сводится к следующему: если изменение не затрагивает множества свойств данного материального объекта, то оно является количественным. Третий аспект единства количества и качества в мере заключается в том, что количественное изменение любого свойства материального объекта с необходимостью должно иметь верхнюю и нижнюю границы. Иными словами, независимость свойств объекта от количественных изменений, которая отражена во втором аспекте, ограничена.

В первых двух аспектах, отражающих единство количества и качества в мере, их связь берется в разных отношениях. Количественное изменение в материальном объекте приводит к появлению и исчезновению свойств в одном отношении и не затрагивает его свойств в другом. Третий аспект меры, напротив, подчеркивает, что количественное изменение затрагивает и не затрагивает качество в одном и том же отношении.

Категория меры позволяет уточнить одно из основных понятий современной науки — состояние. Исходным пунктом при анализе этого понятия является представление о совокупности конечного числа свойств, детерминирующих все остальные свойства данного объекта. Состоянием обычно называют мгновенное сечение совокупности его переменных. Под переменной состояния понимают величину, сопоставляемую с одним из существенных свойств объекта. Понятие состояния может служить эффективным инструментом отображения объектов материального мира лишь при конечном числе существенных свойств[331].

При математическом отображении состояния каждое свойство изучаемого объекта сопоставляют с переменной X₁, X₂, X₃…, X_n, где n — конечное число. Обычно предполагается, что переменные могут принимать любые значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но если мы рассматриваем переменные как отображение соответствующих свойств материального объекта, то ситуация принципиально меняется. Совокупность значений, которые может принимать та или иная переменная, называют обычно областью ее задания. Поскольку переменные сопоставляются со свойствами состояния, области ее задания ограничены как снизу, так и сверху. В самом деле, из закона перехода количества в качество следует, что никакое свойство не может иметь бесконечно большого значения. Каждое состояние характеризуется конечным набором значений переменных, которые по условию являются независимыми в том смысле, что не могут быть выведены, представлены друг через друга. Вся совокупность возможных сочетаний значений переменных образует область возможных состояний данного материального объекта.

Используя язык математики, можно сказать, что мы имеем дело с пространством состояний. Каждое отдельное состояние может рассматриваться как элемент или точка N-мерного пространства состояний. Принципиальное отличие пространства состояний от обычного математического N-мерного пространства состоит в том, что оно не может быть бесконечным. Его объем всегда конечен в силу того, что ни одна переменная не получает бесконечных значений.

Пространство состояний является необходимым, но недостаточным условием для отображения меры. На этом уровне единство количества и качества рассматривается еще абстрактно в том смысле, что оно берется лишь по отношению к отдельным переменным, отображающим свойства состояния. Между тем, как подчеркивалось выше, специфика меры заключается в том, что свойства не просто сосуществуют, а находятся в определенной взаимозависимости. Она должна быть выражена в том аппарате, посредством которого категория меры отображается.

При абстрактном подходе верхняя и нижняя границы того или иного свойства определяются лишь его природой. Тем самым предполагается, что каждая переменная может получать значения из области своего задания безотносительно к тому, какие значения принимают другие переменные. Но в действительности закон перехода количества в качество действует по отношению не только к отдельным свойствам, но и к их совокупности. Это означает, что область задания той или иной переменной, взятой отдельно, отлична от области задания той же переменной как части определенной совокупности других переменных, образующих целое.

Следовательно, переход к новому уровню описания выражает внутреннее функциональное единство, а значит, и целостность отображаемой качественной определенности материального объекта. В силу того что на каждую переменную, поскольку она рассматривается в системе, накладываются дополнительные условия, детерминированные ее зависимостью от целого, область задания переменных сокращается. Поэтому оказывается, что для описания материальных объектов с точки зрения меры приходится вводить пространство, существенно отличающееся по своему объему от пространства состояний. Мы будем называть его пространством меры.

Пусть свойства состояния отображаются теми же переменными X₁, X₂…, X_n. Тогда для каждого X должно существовать определенное его значение A. Как только X₁ принимает значение меньше A, сразу же разрушается соответствующее качество, поскольку нарушается мера. Точно так же для каждой переменной должно существовать значение B. Как только соответствующая переменная приобретает значение больше B, то происходит выход за пределы меры и данная качественная определенность разрушается. Соответствующие значения переменных образуют верхние и нижние границы в пространстве меры. Таким образом, любое качественное состояние материального объекта может быть сопоставлено с определенной точкой пространства меры.

Не трудно видеть, что аппарат пространства состояний и пространства меры аналогичен чрезвычайно широко применяемому математическому аппарату N-мерного пространства, и в частности фазового пространства. Значение аппарата пространства состояний и пространства меры заключается в том, что он получен на основе предельно общих категорий качества, количества и их взаимосвязи. В противоположность этому аппарату математический аппарат N-мерного пространства строится формально, с использованием многих идеализации, что чрезвычайно затрудняет понимание его связи с действительностью. Поэтому нередко идеализации аппарата N-мерного пространства приписываются самим отображаемым объектам. Пространство состояний и пространство меры служат методологическими принципами, позволяющими правильно понять место и роль соответствующего математического аппарата при описании той или иной области материальных объектов.

Рассмотренная выше конечность пространства состояний и пространства меры является их экстенсивной конечностью. Математическая абстракция строится обычно на идеализации, при которой допускается не только экстенсивная, но и интенсивная бесконечность пространства, т. е. бесконечность вглубь. В противоположность этому как для пространства состояний, так и для пространства меры конечность имеет место с точки зрения их экстенсивности и интенсивности. В самом деле, то или иное свойство не может уменьшаться до бесконечности. Бесконечное приближение к нулю означало бы нарушение закона перехода количества в качество. Но если свойство не может иметь как угодно малые количественные значения, то оно распадается на дискретный и притом конечный ряд допустимых значений.

Таким образом, та дискретность, с которой мы встречаемся при анализе количественной определенности, является следствием закона перехода количества в качество, который объясняет универсальность дискретности количественной определенности.

Отсутствие как угодно малых количественных различий одного и того же свойства приводит к тому, что уже для пространства состояний нельзя говорить об абстрактной точке в математическом смысле. Поскольку значение каждого свойства на деле может быть определено с точностью до некоторого конечного промежутка, то вместо точки N-мерного пространства, которая должна отображать определенное состояние, мы имеем некоторый конечный объем соответствующего N-мерного пространства. Именно этот минимальный объем и является отображением состояния в фиксированный момент времени. Следовательно, состоянием можно назвать минимальную область задания совокупности переменных, отображающих набор свойств объекта.

Такой подход недостаточен с точки зрения меры, поскольку он, как это имело место и при экстенсивном подходе, не учитывает взаимосвязь свойств состояния. В самом деле, минимальная область задания определяется на основании минимальных количественных различий, имеющих место по отношению к каждому отдельному свойству, взятому независимо от других. Учет зависимостей между различными свойствами состояния или соответствующими переменными приводит к тому, что минимальная область увеличивается. Это происходит в силу того, что данная качественная определенность не может существовать, если те или иные ее свойства получают значение меньше некоторой величины. При этом вне данной качественной определенности эти свойства, как правило, могут иметь и гораздо меньшее количественное значение.

В силу того что пространство состояний имеет большую верхнюю границу и меньшую нижнюю, пространство меры всегда находится внутри пространства состояний. Поэтому с помощью пространства состояний всегда можно выразить не только изменения в рамках меры, но и переход от одного качественного состояния к другому, т. е. переход через границу меры.

Универсальность минимальных количественных значений для определенного качества в течение длительного времени совершенно не учитывалась в процессе познания. Принципиальная невозможность получить сколь угодно точные значения изменяемых свойств была доказана в физике только с развитием квантовой механики[332]. Между тем анализ пространства состояний и пространства меры с точки зрения закона перехода количества в качество является демонстрацией того факта, что ситуация, характерная для проблемы измерения в квантовой механике, является лишь частным случаем общей закономерности.

Этот вывод имеет важное методологическое значение как при разработке математических средств отображения поведения материальных систем, так и при оценке результатов измерения, используемых при таком описании. Он позволяет по-новому взглянуть на смысл применения финитных математических методов. До сих пор господствовало представление о том, что эти методы допустимы лишь с практической точки зрения. С гносеологической точки зрения они рассматривались лишь как приблизительные. Поэтому инфинитные методы оценивались как единственные, позволяющие адекватно отображать действительность. Такой подход к гносеологической ценности финитных и инфинитных методов основывался на предположении, что сами по себе материальные объекты обладают свойствами, количественные значения которых объективно могут различаться на сколь угодно малые величины и в силу этого возможно сколь угодно точное измерение. Лишь недостатки методов измерения приводят к тому, что финитные и инфинитные методы практически дают одни и те же результаты.