4.1. Свойства, отношения и предикаты

4.1. Свойства, отношения и предикаты

Свойства вещей реального мира представляют собой результат взаимодействия их с другими вещами, ибо без этого они не могли бы проявиться и мы не были бы в состоянии судить о них. В самом деле, мы говорим, например, что алмаз является самым твердым минералом, а графит - мягким потому, что они различаются по свойству твердости и пластичности.

В традиционной логике свойство отображается в суждении предикатом, а вещь, которой принадлежит это свойство, - субъектом. Следует, однако, различать субъект и предикат в грамматике и логике, подобно тому как мы различаем предложение и суждение (высказывание) Суждения, имеющие субъектно-предикатную структуру, отображают часто встречающиеся в действительном мири связи между вещами, событиями и явлениями, с одной стороны, и их свойствами и признаками, с другой. Именно эти связи и стали предметом изучения традиционной логики. Хотя различные виды отношений, такие, как "больше", "меньше", "выше", "ниже", "дальше", "ближе" и т.п., не говоря уже об отношениях родства встречаются часто, но традиционная логика либо совершенно не интересовалась логическим анализом отношений, либо пыталась свести их к субъектно-предикатной структуре.

Впервые изучением логики отношений занялись математики, и ее основоположником считается английский математик и логик О. де Морган. Интерес к данной логике со стороны математиков вовсе не случаен, поскольку именно в этой науке встречаются самые разнообразные отношения (равенства, неравенства, подобия, между, включения, конгруэнтности, параллельности и т.д.). Такие отношения представлены в формулировке аксиом различных математических дисциплин, и поэтому для доказательства теорем необходимы точные определения тех логических операций, которые можно производить над отношениями.

С логической точки зрения отношения можно рассматривать как обобщение обычного предиката традиционной логики, выражающего свойства предметов. Если этот предикат характеризует один-единственный предмет или, как мы будем говорить в дальнейшем, объект, то в логике отношений он определяет отношение между разными объектами. Так, когда мы говорим, что число 5 больше, чем 3, то тем самым устанавливаем между ними отношение "больше" по величине.

Отношение между двумя объектами называют бинарным, (двучленным), между тремя - тернарным и т.д. Объекты, которые заполняют эти места, характеризуют соответствующий предикат.

Символически это представляется так:

Р (x₁ , x₂ ,..., х_n ),

где Р обозначает предикат, a x₁ , x₂ ,..., х_n - соответствующие объекты. Если n = 0, тогда предикат будет нерасчлененным высказыванием, которое рассматривалось в предыдущей главе, при n = 1 предикат представляет свойство, при n = 2 - бинарное отношение, при n = 3 - тернарное отношение и т.д.

С логико-математической точки зрения предикат можно рассматривать как пропозициональную функцию. В отличие от математических функций, где аргументами служат числа и другие математические объекты, в пропозициональной функции аргументами являются только высказывания. Если такой предикат выражает свойство, например "быть студентом", то, подставив вместо аргумента х фамилии разных лиц, мы получим различные высказывания, истинные и ложные, т.е., если Иванов действительно студент, то он будет удовлетворять функции Р(х), где Р обозначает свойство "быть студентом". Аналогично, если Ч(х) обозначает свойство "быть четным числом", то число 4 удовлетворяет этой функции, а число 5 - нет. Обратите внимание, что в этом случае вместо обычных чисел аргументами служат высказывания о числах.

Предикат Р(х,у) является пропозициональной функцией от двух аргументов и выражает бинарное отношение между двумя объектами, например "Москва южнее, чем С.-Петербург". В данном случае предикат Р обозначает отношение "быть южнее". Если вместо "Москвы" взять "Мурманск", то получится ложное высказывание. Отсюда становится ясно, что предикат или пропозициональная функция сами по себе не являются высказываниями, и потому не могут считаться ни истинными _ни ложными. Они становятся истинными или ложными высказываниями после того, как вместо их аргументов подставляются конкретные высказывания. Такой функциональный подход к предикатам дает возможность обращаться с ними как со специальными видами функций, аргументами которых являются не математические, а логические объекты, а именно высказывания.

Объектами же рассуждений могут быть самые разнообразные предметы как реального, так и идеального мира, события, явления, процессы. Предикаты, которые их характеризуют, в принципе позволяют выделить класс (или множество) этих объектов. Такой класс в логике называют универсумом рассуждения. Например, универсумом рассуждений в арифметике является множество чисел, в химии- различные химические элементы, простые и сложные вещества, в которые они входят, в биологии - живые организмы, в социальных науках- группы, коллективы, классы людей и соответствующие общественные структуры. Логика не изучает и не определяет универсумы конкретных видов рассуждений. Это составляет задачу конкретных наук. Поэтому в логическом анализе такие универсумы предполагаются заданными.

Существует два принципиально отличных способа задания универсума рассуждения, первый из которых состоит в систематическом перечислении всех тех объектов, которые составляют класс объектов, характеризуемых данным свойством или отношением. Очевидно, что такой универсум должен быть конечным множеством. Однако в научном познании приходится иметь дело не только с конечными, но и бесконечными множествами объектов. Например, в математике уже натуральный ряд чисел является бесконечным множеством, поскольку к любому, сколь угодно большому натуральному числу можно прибавить единицу и тем самым неограниченно продолжать этот процесс. При формулировании научных законов также часто приходится обращаться к бесконечному множеству объектов. Так, в законе всемирного тяготения Ньютона утверждается, что два любых тела притягиваются друг к другу с гравитационной силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При этом предполагается, что количество таких тел во Вселенной бесконечно много. Очевидно, что поскольку бесконечное множество нельзя задать с помощью конечного списка его элементов, то приходится для этого обращаться к некоторому общему правилу или закону образования его элементов. Например, зная, что четными называются числа, делящиеся на 2, всегда можно определить, является ли рассматриваемое число четным или нечетным.

Таким образом, для определения универсума рассуждений требуется ответить на вопрос, принадлежит ли данный объект множеству, представляющему универсум или нет.

Хотя в принципе, если свойство или отношение сформулированы достаточно ясно и четко, установить универсум можно, но на практике сделать это бывает трудно из-за неопределенности критериев разграничения множеств объектов. Порой бывает, например, нелегко ответить на вопрос, принадлежит ли данный объект к множеству растений или животных, металлов или металлоидов, устойчивых или неустойчивых систем, когда заходит речь о переходных, промежуточных явлениях.

Но в большинстве случаев при наличии предиката, выражающего свойство или отношение, можно всегда установить его универсум, или, как предпочитают говорить математики, область значений переменных пропозициональной функции, которую называют областью определения функции. Если эта область точно не установлена, то пропозициональная функция при подстановке на место аргументов конкретных объектов превращается в бессмысленную фразу, а не осмысленное высказывание - истинное или ложное. Нередко бывает так, что функция оказывается неопределенной в некоторой области значений. Например, в математике говорят, что уравнение х² + 1=0 не определено в области действительных чисел, ибо имеет мнимый корень. Чтобы гарантировать точность рассуждений, в математике и логике ясно и однозначно определяют ту предметную область, к которой относятся переменные пропозициональных функций или предикатов.

В простейшем исчислении предикатов, которое называют также узким или исчислением предикатов первой ступени, в качестве значения переменных будут рассматриваться индивиды или объекты. Но можно в качестве значений переменных брать также предикаты, связанные кванторами. Такое исчисление называют исчислением предикатов второй ступени. Дальнейшие обобщения приводят к исчислениями предикатов высших ступеней.

Так же, как и в исчислении высказываний, мы будет предполагать, что высказывание Р(х,у), получаемое при любой паре значений из области ее значений, может быть либо истинным, либо ложным. Другими словами, в исчислении предикатов, как и в исчислении высказываний, выполняется закон исключенного третьего. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, сама процедура получения значения истинности сложного высказывания, состоящего из элементарных высказываний, значительно усложняется: ведь в таком случае с ним приходится соотносить не один, а пару, тройку или вообще n-ку объектов из области значений переменных.