4.4. Логическое следование

4.4. Логическое следование

Чтобы установить, следует ли логически формула В исчисления предикатов из множества формул A¹, А²,..., A^m (m > 1), необходимо, как и в исчислении высказываний, построить соответствующую таблицу истинности и убедиться в том что формула В будет иметь истинное значение во всех тех строках, где A¹, А²,..., A^m одновременно являются истинными, и это условие выполняется во всех универсумах рассуждения. Такое условие играет существенную роль, ибо одна формула будет логически следовать из другой (или других) в одном универсуме, но не следовать в ином универсуме.

Символически это определение можно представить в следующей форме:

A¹ ,A², ,A^m | = B

где знак | = обозначает следование.

В приведенном выше определении логического следования свободные переменные рассматриваются как обозначающие некоторые элементы из универсума рассуждения. Поэтому в течение всего рассуждения они, так же, как и предикаты, должны оставаться фиксированными. При другом определении переменные могут быть различными в разных формулах. Чтобы яснее представлять различия между двумя подходами к определению логического следования, обратимся к языку алгебры, в котором, как известно, различают, с одной стороны, уравнения (или условные равенства), а с другой - тождества (или тождественные равенства). В то время как уравнению удовлетворяют только определенные значения переменной, называемые его корнями, тождество выполняется при любых значениях переменной. Именно поэтому уравнения считаются условными равенствами. Действительно, например, в уравнении х2 + 2х - 3 = 0 левая часть равняется правой только при значениях х = 1 и х = -3, а в тождестве (х + 1)2 = х2 + 2х + 1 вместо переменной можно подставлять любые числа.

Соответственно этому будем говорить, что для переменных в уравнениях дается условная интерпретация, а в тождествах - интерпретация всеобщности. При условной интерпретации переменной х в определенном допущении А(х) - куда х входит свободно - любое следствие, полученное из него, должно относиться к тому же самому элементу из универсума А(х). Иными словами, переменная х в этом случае фиксирована, так как представляет то же самое число в процессе рассуждения. При тождественной интерпретации значения переменных могут изменяться. Отсюда становится ясным, что приведенное выше определение для логического следования в исчислении предикатов соответствует условной интерпретации свободных переменных, входящих в допущения A¹, А²,..., Aⁿ. Чтобы сформулировать другое определение следования, необходимо опираться на интерпретацию всеобщности для всех переменных. Для этого необходимо, во- первых, связать все допущения А¹, А², ..., A^m кванторами общности, а во-вторых, построить таблицы истинности, как и в первом определении.