3. Бесконечные числовые структуры

3. Бесконечные числовые структуры

Анализируя раннее пифагорейство, мы убеждаемся, что пифагорейцы этого времени больше интересуются или отдельными конечными числами, или числом вообще. Что же касается бесконечных чисел, то есть бесконечных числовых структур, то очень яркую картину в этом отношении представляет собою философия Анаксагора. Поскольку эта философия Анаксагора подробно излагалась нами раньше (I 320 – 325), сейчас мы должны дать только краткую сводку.

а) Анаксагор, подобно атомистам, конструирует всю действительность из неделимых элементов, которых насчитывает бесконечное количество. Уже тут понятие бесконечности выступает в очень настойчивой и смелой форме. Но интереснее всего то, что эти свои неделимые элементы Анаксагор ни на одно мгновение не представляет себе в полной взаимной изоляции. Интуиция целости, как и всегда у античных мыслителей, берет верх и заставляет видеть ее в каждом отдельном элементе. И здесь тоже возникает весьма настойчивое требование находить всю бесконечность элементов в каждом отдельном элементе. Можно только поражаться смелости такого утверждения, но факт остается непреложным: если весь космос есть целое, то эта целость отражается и в каждом его отдельном элементе. Эта общая космическая целость в каждом элементе дана по–разному, потому что и все элементы, из которых состоит космос, тоже повсюду разные. И, следовательно, вся бесконечность элементов содержится и в каждом отдельном элементе, но каждый раз специфично. Все элементы, содержащиеся в отдельном элементе, несут на себе специфику этого элемента, отражают эту специфику, делаются ему подобными. Поэтому такой сложный элемент и получил название"гомеомерия", или"подобочастное". Каждый из бесконечных по числу элементов отражает всю эту бесконечность элементов специфично, так что все элементы, отраженные в данном элементе, оказываются подобными друг другу, неся на себе то или иное специфическое качество, создаваемое данным господствующим элементом.

Но мало и этого. Анаксагор утверждает, что каждый из бесконечных элементов, отраженных в данном элементе, в свою очередь, бесконечно делим и является не каким нибудь стабильным качеством, но таким качеством, которое пребывает в вечном становлении. Таким образом, каждому элементу у Анаксагора свойственна двойная бесконечность: одна – это отражение в нем всех вообще бесконечных элементов, которые только существуют; и другая – это бесконечное и непрерывное становление каждого из этих раздельных элементов внутри него самого. Такое замечательное совмещение двух типов бесконечности в каждом минимальном элементе действительно проводится у Анаксагора весьма четко и смело, и в дальнейшем мы его найдем лишь в аристотелевском учении о ставшей чтойности (ниже, часть шестая, глава II, §4, п. 2). Здесь же, в период ранней классики, речь идет пока, конечно, только о физических элементах, в то время как у Аристотеля речь будет идти об элементах в самом широком смысле слова, то есть и в математическом и вообще в понятийном смысле. Важно подчеркнуть еще и то, что в анаксагоровских гомеомериях, а именно в учении о бесконечной делимости элементов, весьма мощно представлено то, что мы должны назвать непрерывным становлением (в связи с бесконечной делимостью), или континуумом.

б) К этому античному понятию континуума надо относиться со всей серьезностью и отнюдь не игнорировать его, подобно большинству новых и новейших исследователей. Обычно думают так, что для античности больше всего характерна скульптура, то есть ясное и яркое изображение телесной единораздельной цельности. Становление же, в полном смысле этого слова, находят только в Новое время в связи с учением о бесконечно малых. Такое воззрение безусловно ошибочно. Ведь если действительно в основе античной культуры лежит телесная интуиция, то эти тела тоже находятся в становлении, так что и сами они вполне дробимы до бесконечности и всякое их внутреннее становление тоже дробимо на бесконечно малые моменты. Кроме того, раз все движется и все течет, значит, и каждая отдельная вещь, хотя она и берется целиком, все равно тоже движется и тоже течет. Тут совершенно нет ничего непонятного, и нет никакой необходимости связывать непрерывное становление только с учением Ньютона и Лейбница о бесконечно малых. Конечно – и это разумеется само собою, – интуиция тела в античности прежде всего фиксирует само это тело как единораздельную цельность. Это – в первую очередь. Но та же самая чувственно–материальная интуиция безусловно требовала также признания и подвижности вещей и их текучести. Эта текучесть вещей в последующих периодах античности будет развиваться и усложняться; и в период ранней классики, как это ясно из нашей общей характеристики всей досократики, она будет связана по преимуществу с элементным становлением действительности. Но это нисколько не мешает ее наличию, поскольку и все прерывное только и может мыслиться на фоне непрерывности.

Нечего и говорить, что в понимании такого всеобщего континуума Гераклит превзошел решительно всех мыслителей ранней классики. Но, например, такой мыслитель, как Эмпедокл, не отменил, а углубил эту концепцию непрерывности и только связал ее с учением о вечном возвращении (397 – 404). Диоген Аполлонийский (418 – 422) довел это представление о всеобщей текучести даже до понятийного понимания, поскольку его непрерывно протекающий воздух все создает своим мышлением. Наконец, представление о совокупном единстве прерывности и непрерывности торжествует в античном атомизме, а именно в учении о раздельных атомах и безраздельной, неразличимой пустоте (422 – 425).

Не нужно думать, что приведенные сейчас у нас досократовские концепции не имеют отношения к числу, а являются вообще учениями о вещественных количествах. На самом деле числовые структуры настолько здесь неотделимы от вещей, а вещи от чисел, что, например, Гиппас прямо говорил о числе как о душе, а о душе как о числе, хотя он же считал душу и огнем (264). Что же касается атомистов, то атомы у них – это тоже геометрические тела, неприкасаемые и невесомые, как и всякое геометрическое тело. И Аристотель (462) прямо писал о них:"Ведь некоторым образом и они все сущее считают числами и все производят из чисел".

Учение о континууме в период античной классики представлено настолько разнообразно, что требует для себя очень подробного и трудоемкого исследования. Мы хотели бы только на одном мыслителе, и притом самом знаменитом, показать в качестве примера, насколько интуиция континуума была глубока и настойчива в период ранней классики и насколько разнообразно она здесь представлена. Именно, даже у общеизвестного Гераклита вопрос о проповедуемой им всеобщей текучести вовсе не так прост, и сейчас мы попробуем сказать об этом грандиозном примере с Гераклитом несколько подробнее.