Теория множеств и парадокс Рассела

Бертран Рассел пытался свести все типы математических отношений к логике, и здесь важно понятие множества. Рассел определяет его как «совокупность членов или элементов» (иными словами, объектов). Множества бывают в том числе определяемыми отрицательно и состоящими из подмножеств, которые можно добавлять или исключать. Примером множества могут быть все американцы. Множество, которое определяется отрицательно, – все люди, которые не являются американцами. Пример подмножества – все жители Нью-Йорка в составе множества «все американцы».

Бертран Рассел – не создатель теории множеств (идея принадлежит Готлобу Фреге), но он произвел настоящий переворот в основных ее принципах, когда в 1901 г. сформулировал свой знаменитый парадокс.

Парадокс Рассела касается множества всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Рассмотрим в качестве примера множество всех когда-либо существовавших собак. Множество всех собак не является собакой. Но есть множества, которые содержат себя в качестве элемента. Во множество всего, что не является собакой, должно быть включено и это множество, потому что оно не собака.

Если пытаться найти множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента, возникнет парадокс. Почему? Есть много множеств, которые не содержат себя в качестве элемента, но, по их определению, они должны быть включены в себя. Однако определение гласит, что это недопустимо. Налицо противоречие.

Именно благодаря парадоксу Рассела становится очевидным несовершенство теории множеств. Если считать любую группу объектов множеством, возможно возникновение ситуаций, противоречащих логике. Рассел заявляет: чтобы исправить этот недостаток, теория множеств должна быть более строгой. По Расселу, множеством может считаться только группа объектов, удовлетворяющая конкретным аксиомам (так можно избежать логического противоречия, возникающего в современной модели). Теория множеств до Рассела носит название наивной, а ее развитие с учетом работ Рассела получило название аксиоматической теории множеств.