1. Геометрия как физика. Геометрия как математика

1. Геометрия как физика. Геометрия как математика

Математика родилась как ответ на выдвинутую развитием общественной практики потребность в познании количественных соотношений и пространственных форм объективной реальности. Первоначально не возникало сомнений относительно ее природы. Однако в ходе ее развития, по мере того как она принимала все более отвлеченный характер, постепенно эмансипируясь от прикладных дисциплин и конституируясь в так называемую «чистую математику», идеалистическая философия научилась абсолютизировать этот процесс, имеющий только относительное значение, и стала предпринимать ожесточенные попытки превратить математику в крепость идеализма, в базу для совершения набегов на соседние области познания.

Сравним два высказывания о геометрии, относящиеся к различным эпохам. Одно из них принадлежит Эвдему Родосскому, одному из первых систематизаторов математических знаний древности, другое – Бертрану Расселу, апостолу логического позитивизма и «систематизатору» современной математики.

Эвдем Родосский пишет: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли... Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».

Совсем иначе смотрит на дело Б. Рассел: «Развитие неевклидовой геометрии постепенно выяснило, что геометрия бросает не более свету на природу пространства, чем арифметика – на население Соединенных Штатов»[133].

Спрашивается, что же, собственно, изменилось за это время в математике и дают ли эти изменения какие-либо основания для подобных выводов?

Что касается геометрии древних Египта и Двуречья, то на этот счет можно сказать, что геометрические (и математические вообще) знания этой эпохи еще не представляли собой науки в собственном смысле, но совокупность совершенно конкретных задач и эмпирически найденных решений, относящихся к измерению или исчислению объектов. О науке здесь говорить еще рано, так как не существовало единого способа подхода к этим эмпирическим проблемам.

Расцвет геометрии и превращение ее в относительно самостоятельную научную дисциплину имеет место в Древней Греции эпохи Евклида. В его «Началах» (около 300 г. до н.э.) мы имеем уже более или менее систематическое изложение основ геометрии. Евклид формулирует пять постулатов и девять аксиом, которые легли в основание всего последующего развития содержания геометрии.

Правда, Евклидово построение геометрии еще нельзя назвать строго аксиоматическим, так как он нередко прибегает не только к дедукции, но и к наглядной аргументации. Определения основных геометрических понятий у него зачастую носят характер наглядных описаний геометрических образов. Так, он «определяет» точку как то, «что не имеет частей», линию – как «длину без ширины» и т.п. Тем не менее уже можно говорить о тенденции к аксиоматическому, т.е. собственно логическому построению математики.

Хотя Евклид уже прибегает и к собственно математической аргументации, в целом его геометрия является описанием реального физического пространства, выполненным, однако, на математическом языке. Евклидово пространство – то же самое, с которым имел дело и землемер, и мореплаватель, и архитектор.

В этом отношении интересен пятый постулат, впоследствии названный «аксиомой о параллельных». Этот постулат гласит: «всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2 d, эти прямые пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2 d». Или просто: через всякую точку, находящуюся вне данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Этот постулат причинил математикам много хлопот на протяжении почти всей истории математики, вплоть до революционного открытия Лобачевским неевклидовой геометрии. Многим математикам после Евклида казалось, что постулат не содержит в себе той очевидности и необходимости, которая свойственна его остальным утверждениям. Создалось убеждение, что данный постулат является не аксиомой, а теоремой, и были предприняты многочисленные попытки доказать пятый постулат как геометрическую теорему, т.е. вывести его из других аксиом, а тем самым показать, что аксиоматика Евклида нарушает, выражаясь языком современной логики, требование о независимости аксиом.

Так, византийскому геометру Проклу (V в. н. э.), комментарии которого сопровождали один из наиболее древних текстов «Начал», принадлежит следующее рассуждение о «пятом постулате»: «Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это – теорема, вызывающая много сомнений, которые Птолемей пытался устранить в одной из своих книг, и сам Евклид дает обращение этого положения в качестве теоремы.

Совершенно ясно, что должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо. Каким образом это предложение может быть доказано – это мы увидим ниже, придя к нему, когда элементы геометрии нас этому научат, ибо необходимо обнаружить его справедливость, но не как нечто, представляющееся нам очевидным без доказательства, а как предложение, становящееся таковым благодаря доказательству»[134].

Помимо доказательства Прокла, которое мы здесь приводить не будем, существовали и многие другие «доказательства» V постулата. Общей их чертой было то, что все они основывались на явном или неявном введении новой аксиомы, эквивалентной аксиоме о параллельных. Многим математикам, работавшим в этой области, уже казалось, что идеал геометрии, как строгой науки, достигнут, что удалось очистить Евклида «от всех пятен». (Итальянский геометр Саккери, которому принадлежат известные заслуги в деле подготовки неевклидовой геометрии, назвал свой труд: «Евклид, очищенный от всех пятен».)

«Доказательства постулата Евклида, – писал в 1763 г. немецкий математик и философ Ламберт, – могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, одна мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат»[135].

Атмосфера, которая создалась вокруг вопроса о пятом постулате, хорошо выражена в письме венгерского математика Вольфганга Больяя своему сыну Иоганну, будущему создателю (независимо от Лобачевского, но несколько позднее его) неевклидовой геометрии: «Молю тебя, не делай только и ты попыток одолеть теорию о параллельных линиях; ты затратишь на нее все свое время, а предложения этого вы не докажете все вместе... Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть на земле чем-либо совершенным даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе»[136].

И тем не менее этот «беспросветный мрак» был очень скоро рассеян трудами Н.И. Лобачевского и Я. Больяя[137]. Lumen ex orient, свет, как говорится, пришел с востока.

«Напрасное старание со времен Евклида, – пишет Н.И. Лобачевский, – в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты»[138].

Лобачевский не только отказался от доказательства аксиомы о параллельных, но и построил геометрию, в аксиоматике которой содержится предложение, содержащее ее прямое отрицание: «Принимаем только то предложение справедливым, что перпендикуляр на линии параллельной встречает другую под острым углом»[139].

Это предложение эквивалентно следующим трем: 1) через точку, находящуюся вне прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две прямых, параллельных данной; 2) параллельные прямые пересекаются в некоторой точке; 3) сумма углов прямоугольного треугольника не есть величина постоянная (т.е. не равна 2 d).

С точки зрения привычного (физического) пространственного опыта все эти предложения не только не представляются очевидными, но и прямо чудовищными. Тем не менее, основываясь на этой аксиоме, Лобачевский построил математически безупречную систему – неевклидову геометрию.

При допущении неевклидовой аксиомы (аксиомы Лобачевского, сводящейся к утверждению, что угол параллелизма острый, или аксиомы Римана: угол параллелизма тупой) геометрия может быть построена вполне логично и непротиворечиво. Все геометрические теоремы оказываются выполнимыми и связь математических понятий безупречной. Математически истинность неевклидовой геометрии тем самым оказывается вне всяких сомнений, тогда как ее истинность с точки зрения нашего обычного физического опыта представляется весьма и весьма проблематичной. Физический смысл неевклидовой геометрии выяснился значительно позднее, в связи с разработкой сначала специальной (1905 г.), а затем и общей теории относительности (1916 г.).

Допущение, что сумма углов прямолинейного треугольника есть величина постоянная, утверждал Н.И. Лобачевский, «не представляет необходимого следствия из наших понятий о пространстве». «Только опыт, – продолжает Лобачевский, – например, фактическое измерение трех углов прямолинейного треугольника, может подтвердить истинность этого допущения». Аналогично говорит и Риман: те особые свойства, которыми Евклидово пространство отличается от других мыслимых трехмерно протяженных многообразий, «могут быть заимствованы только из опыта».

Математически, следовательно, оказываются возможными различные, даже несовместимые геометрии, тогда как фактически, реально, может быть истинной только одна из них. Следовательно, если в Евклидову геометрию включается аксиома о параллельных, то необходимость этого диктуется не математическими, но физическими соображениями. Эта аксиома описывает свойства доступного нам и практически действительного для нашего непосредственного опыта физического пространства. Геометрия Евклида, основывающаяся, в частности, на этой аксиоме, оказывается поэтому не только математикой, но и физикой, т.е. геометрическим описанием эмпирического земного пространства.

Тот факт, что геометрию можно построить и независимо от этой аксиомы, говорит о том, что геометрию можно построить и независимо от физики нашего повседневного опыта. Эта независимость, конечно, относительна. Но она вполне достаточна для допущения различия между геометрией как физикой и геометрией как математикой, введенного Гельмгольцем.

Геометрия как физика изучает пространственные свойства материальных объектов. Ее положения вытекают из опыта и подтверждаются только опытом. Как и всякие опытные положения, они оказываются истинными лишь приближенно.

Геометрия как математика исследует взаимные логические зависимости пространственных свойств в принятой системе выражения при отвлечении от их физического содержания.

История неевклидовой геометрии свидетельствует о том, что математические истины имеют не только внешний, экзотерический, физический смысл, но и внутренний, собственно математический, эзотерический смысл, что математика относительно самостоятельна, независима, автономна. «... Мы теперь придаем окончательное значение при доказательстве непротиворечивости той или иной системы геометрии лишь “внутриматематическим” их осуществлениям. Например, непротиворечивость Евклидовой геометрии доказывается не на основании экспериментально установленной приближенной ее пригодности в окружающем ее “физическом” пространстве, а существованием ее координатной аналитической модели»[140].

Все это говорит о том, что реальное физическое пространство может быть описано различными системами геометрий с различными степенями приближения, что каждая из этих систем представляет собой лишь известную абстракцию от реального пространства, что не существует априорной геометрии, выражающей лишь изначальные законы сознания.

Неевклидова геометрия в корне подрывает кантианские воззрения на природу математики. Но в то же время она воздвигает перед материалистической теорией познания определенные трудности. В общем эти трудности упираются в выяснение природы математической абстракции. Ведь тот или иной вид геометрии мы получим в зависимости от того, под каким углом зрения рассматривается объект, от каких допущений мы при этом отталкиваемся.

Здесь налицо уже известная нам проблема «точки зрения» науки на ее объект. Это обстоятельство прекрасно осознается всеми математиками. «... Попробуем, – пишет А. Пуанкаре, – спросить себя: истинна ли Евклидова геометрия? Вопрос не имеет смысла. Это все равно, что спрашивать, верна ли метрическая система мер, а прежние не верны, или верны ли Декартовы координаты, а другие ложны. Одна геометрия не вернее другой, а только более или менее удобна. А Евклидова геометрия была и остается самой удобной»[141].

Здесь перед нами определенное решение проблемы: точка зрения науки задается соображениями удобства.

Вообще говоря, если речь идет лишь о частном вопросе, о применении той или иной системы координат или той или иной системы геометрии, то ответ Пуанкаре, возможно, способен удовлетворить исследователя. Но вопрос стоит здесь в более общей форме: о природе математики и математической абстракции вообще, о проблеме реальности в математике, а в этом случае концепция Пуанкаре совершенно непригодна.

Вопрос о природе математического познания необходимо должен рассматриваться в двух планах: в плане внутренней логики науки и в плане отношения науки в целом к реальности. История неевклидовой геометрии продемонстрировала полную несостоятельность свед?ния математики к физике, несостоятельность натуралистических концепций этой науки. По мнению философов-идеалистов, крах натуралистических иллюзий свидетельствует вообще о крахе материалистических позиций в математике вообще, об элиминации второго плана. А это совсем не так.

Математика – не физика. Но и физика – еще не вся реальность. Математическое познание движется в рамках определенной научной абстракции, определенного «среза» реальности, зафиксированного в аппарате этой науки, в системе средств выражения предметных отношений, моделирующей эти последние. При этом сама математика не задается вопросом о природе этой абстракции. А до тех пор, пока она не задается этими вопросами, все ее проблемы остаются собственно математическими. Выявление этого собственно математического аспекта составило важную заслугу неевклидовой геометрии. Однако не к нему сводится все дело.

Обратимся прежде всего к собственно математическому аспекту, оставляя пока в стороне проблему реальности.

В этом аспекте развитие математики подчиняется принципу монизма, требующему развивать науку в ее собственной, присущей ей внутренней связи. В чем же состоит эта «собственная связь»?

Как известно, Н.И. Лобачевский назвал свою геометрию «воображаемой» геометрией, т.е. геометрией «математически возможного» пространства. Однако это пространство он не мог себе представить даже в воображении. То, что математически представлялось ему естественным и необходимым, физически не было ясно ни ему самому, ни, тем более, его современникам.

Но если Лобачевский уже понимал различие, существующее между геометрией как математикой и геометрией как физикой, то этого нельзя сказать о его современниках, даже о таких, как Н.В. Остроградский, которые расценивали «воображаемую» геометрию как продукт больного воображения, как нечто абсурдное и химерическое.

Геометрия Лобачевского для них оказалась недействительной именно потому, что она была недействительна физически, а не математически, потому что описываемое в ней пространство нельзя было наглядно представить как существующее. В действительности же в задачу геометрии как математики и не входит описание существующего физического пространства, если ее рассматривать с имманентной точки зрения. Пространственную модель геометрии как математической системы в одних случаях можно построить, в других это оказывается прямо невозможным.

(Что касается геометрии Лобачевского, то модель плоскости, на которой осуществляются ее теоремы, была построена в 1865 г. итальянским математиком Бельтрами. Это так называемая псевдосферическая поверхность, на которой геометрия Лобачевского осуществляется лишь частично. Более совершенную модель построил позднее Ф. Клейн (геометрия в круге при сохранении неевклидовой метрики). Наконец, для всей геометрии Лобачевского была построена универсальная аналитическая модель – как применение теории Ф. Клейна и С. Ли о группах непрерывных преобразований. Для других, скажем, для бесконечномерных геометрий, построить пространственную модель оказывается вообще невозможным.)

Изыскание физического, эмпирического смысла геометрических понятий в задачу геометрии как математики не входит. Ее задачей является лишь выведение определенности «сложного выражения из определенности его элементарных выражений; ее интересует лишь взаимное отношение выводимости этих выражений, а не эти образы сами по себе. Поэтому, строя свою систему аксиоматики геометрии, Гильберт исходит из убеждения, что абсолютный смысл таких геометрических понятий, как точка, прямая и плоскость, не имеет никакого реального значения; и если бы кто-либо никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, он «построил бы геометрию не хуже нас».

Сколько ни был бы нам интуитивно известен такой геометрический образ, как прямая, геометрически он действителен для нас только как выражение, которое удовлетворяет определенной аксиоматике, – аксиоматике прямой. Сколько нам ни были бы интуитивно очевидны свойства круга, для геометрии даже простейшая теорема о круге – что все его диаметры равны, так как они вдвое больше радиусов, которые равны по определению, – не обосновывается тем, что «круг повсюду одинаково круглый», т.е. постоянством его непосредственного имплицитного свойства, а постоянством его радиуса.

Математическое исследование состоит в анализе отношений математических величин. Истинность математических теорем, в которых рассматриваются взаимные отношения таких геометрических «объектов», как точки, прямые и плоскости, не зависит от того абсолютного значения, которое мы приписываем этим объектам. Так, в проективной геометрии принят так называемый «принцип двойственности», состоящий в том, что при замене слова «точка» словом «прямая» все ее теоремы сохраняют свою силу. Аналогично можно рассматривать в качестве точек шары или тройки чисел (последнее – при аналитическом истолковании геометрии). Все геометрические теоремы, выведенные для геометрических объектов в их обычном смысле, сохраняют свое значение. Отношения, остающиеся тождественными при различных интерпретациях системы, называются изоморфными. В математике поэтому говорят, что она изучает свои «объекты» «с точностью до изоморфизма».

Какого же рода отношения рассматриваются в геометрии, и что представляют собой относительные свойства ее объектов? Теоретическая система гомогенна. Это значит, что значение всякого ее элемента определяется его отношением ко всем другим элементам системы и к системе в целом; высказывание об элементе является высказыванием и о системе. Сама система есть лишь интегральное выражение факта взаимной определяемости ее элементов.

Сказать нечто об одной из сторон или углов треугольника – значит вместе с тем определить его другую сторону или угол. Сказать нечто о радиусе – значит тем самым определить и окружность. Окружность, конечно, не то же самое, что радиус. Это прекрасно знает, скажем, инженер, когда он строит маховое колесо двигателя. Но для геометра окружность есть именно такой образ, свойства которого определяются как производные от радиуса, как преобразование определенности радиуса. Ее самостоятельная определенность не принимается во внимание.

В аксиоматике теории вырабатывается система средств выражения для данной области объектов. Все, что рассматривается в этой области, должно быть выражено в ее системе средств, так сказать, сконструировано из этого «материала». Все, что не может быть сконструировано подобным образом, лежит вне пределов данной науки и потому оказывается для нее недействительным. Оно существует лишь по отношению к данной системе средств.

На этот счет можно привести следующий пример.

В аналитической геометрии Декарта устраняются «трансцендентные» кривые, которые с точки зрения их построения в созерцании не представляют собой чего-либо особо сложного. Однако при тех средствах анализа, которыми располагал Декарт, их построение оказалось невозможным. Введение нового способа анализа пространственных форм и соотношений с помощью координатной системы ограничивает область геометрии. Разработка более гибких и универсальных средств позволяет рассмотреть в геометрии и первоначально устраненные «трансцендентные» кривые.

С этой точки зрения можно рассмотреть и всю историю геометрии. Как известно, число геометрических образов, рассматриваемых в «Началах» Евклида, невелико: прямая, плоскость, окружность, сфера, цилиндр, конус и т.п. Разработанные же в XVIII в. методы дифференциальной геометрии позволяют рассмотреть бесконечное множество различных линий, поверхностей и их совокупностей. Условием этого анализа является только дифференцируемость функций, входящих в уравнения этих образов.

При определении какого-либо свойства реальных объектов, скажем, пространственного свойства, мы имеем дело с некоторой системой понятий, в которых оно выражается. Эта система понятий определенна. Свойство становится определенным также и теоретически посредством некоторой операции определения. Эта операция состоит в выражении его через преобразование уже имеющейся системы средств выражения. Если в эмпирическом познании определенность данного свойства рассматривается как данная, как продукт физических процессов, совершающихся независимо от мышления, то в логическом познании определенность некоторого созерцаемого свойства есть не исходный пункт, а продукт известной операции выражения и определения. В математике поэтому принимаются во внимание только такие предложения, которые представляют собой продукт преобразования некоторой принятой системы выражения, продукт композиции ее элементов. Акт математического познания поэтому является с логической стороны актом творческим, актом продуцирования данного свойства, его построения: в некоторой данной системе средств, но не актом описания. Это продуцирование, однако, является продуцированием не самой «вещи», но только ее теоретического образа, ее «модели».

Всякий геометрический объект определяется относительно некоторой однородной среды, закономерности которой, повсюду одинаковые, обусловливают свойства конкретного объекта, рассматриваемого в ней. Так, мы убеждены, что все геометрические фигуры суть некоторым образом «одно и то же», что они внутренне тождественны. Только при этом условии и возможно строго математическое познание.

Историческое развитие геометрии состояло в том, что это убеждение все более и более овладевало умами геометров.

Для геометрии древних характерно самостоятельное рассмотрение геометрических фигур сообразно особенностям их индивидуальной наглядной определенности. Так, например, круг и эллипс с точки зрения непосредственного созерцания представляются сущностями различных порядков, поэтому определение свойств каждой из них осуществлялось индивидуально. Отдельная фигура рассматривалась как самодовлеющая единица. Разумеется, между кругом и эллипсом можно подметить некоторое внешнее сходство, однако оно не касается существа.

Методы аналитической геометрии Декарта и современной дифференциальной геометрии, теории групп или проективной геометрии позволяют установить единый метод непрерывного преобразования любой самой сложной фигуры в другую. То, что в геометрии древних решается путем сложных и разрозненных операций, аналитическая геометрия разрешает более простым и единообразным способом. Так, например, теория конических сечений была построена еще Аполлонием Пергским (265-217 гг. до н.э.), но его изложение имело чрезвычайно сложную форму. То, что у Аполлония распадается на восемьдесят отдельных операций, сопровождаемых построением отдельных элементарных фигур, аналитическая геометрия решает путем немногих простых операций. Все конические сечения выражаются в декартовых координатах уравнениями 2-й степени, и построение их теории было сведено к исследованию таких уравнений[142].

Аналитическая геометрия Декарта позволяет свести сложное дискретное многообразие индивидуальных синтетических фигур, кривых и т.п. к числовому единообразию их аналитического выражения в координатной системе, к некоторому непрерывному числовому ряду с едиными, однородными закономерностями. В этой системе индивид уже не представляется самодовлеющей единицей познания. Наоборот, всякая индивидуальная определенность есть продукт известного состояния некоторой универсальной среды, между индивидами поэтому нет такого различия, которое бросается в глаза при их синтетическом исследовании, т.е. в непосредственном созерцании. Различия между отдельными геометрическими образами здесь находятся не «наряду» с определенными тождественными чертами, но вытекают из их тождественной сущности в соответствии с законами геометрии.

При дедуктивном построении геометрии мышление исходит не из отдельных геометрических объектов, но из одной и непрерывной закономерности, которая и определяет индивидуумы в их особенностях, из некоторого единого метода построения всей совокупности объектов. Изолированные пространственные формы, «образы», которые в своей индивидуальности даже боготворились греками, рассматривавшими их как некоторые индивидуальные сущности, «эйдосы» (треугольник, сфера и т.п. или тройка, семерка у пифагорейцев), были развенчаны и сведены к ряду некоторых простейших и всеобщих соотношений.

Любая геометрическая фигура рассматривается в аналитической геометрии как организованное множество точек, каждая из которых согласно координатному методу определена ее расстоянием от осей координат. Это расстояние подчиняется некоторому числовому закону. Но расстояние есть нечто такое, в чем данная фигура уже не существует в форме своей исключительной, индивидуальной определенности.

Расстояние, взятое в его числовом выражении, есть ее «плебейская», рядовая сущность. Эта ее сущность и раскрывается аналитическим методом. Особенности фигуры, синтетически представляющиеся неразложимыми, при аналитическом методе сводятся к ординарным особенностям числового ряда. Это и позволяет единообразно рассмотреть все царство индивидуальностей. Введение в геометрию дифференциальных методов еще более расширило ее возможности в этом направлении.

Первым успехом дифференциальной геометрии было создание (XVIII в.) работами Эйлера, Лагранжа и Монжа теории кривых линий и основы теорий поверхностей. В этих работах дифференциальная геометрия еще не рассматривалась, однако как самостоятельная дисциплина она представляла собой приложение анализа к геометрии. Выход в свет в 1827 г. сочинения К.Ф. Гаусса «Рассуждение о кривых поверхностях» положил начало существованию дифференциальной геометрии как самостоятельной дисциплины.

То же следует сказать и о геометрии синтетической, проективной, аффинной, конформной и т.п.

В проективной геометрии, например, рассматриваются не отдельные фигуры, но их закономерная и непрерывная связь, позволяющая рассматривать свойства одной фигуры как проективное преобразование другой, т.е. логическую зависимость определения одной фигуры через тождественное преобразование определенности другой. (Условия этого тождественного преобразования формулируются в аксиоматике: при проективных преобразованиях остаются тождественными отношения инцидентности точки и прямой, касания прямой и какой-либо линии, ангармоническое отношение четырех точек или четырех прямых и т.п., но существенно искажаются соотношения метрические; при конформных преобразованиях остаются инвариантными углы между любыми линиями; в топологии рассматриваются свойства, остающиеся инвариантными при всех изменениях фигуры, за исключением тех, которые приводят к ее «разрыву» или «растяжению».)

В целях сохранения непрерывности связи и выводимости одних фигур из других Понселе вводит в проективную геометрию широко применяемый в современной математике метод «идеальных элементов», например «бесконечно удаленной точки», которая с точки зрения созерцания совершенно бессмысленна. Тем не менее, как элемент связи преобразования такое понятие является истинным.

В проективной геометрии отдельная фигура рассматривается не сама по себе, но лишь как элемент, основные соотношения определенности которого строго фиксированы и из которого путем известных преобразований этих соотношений мы можем получить все многообразие других геометрических фигур как модификацию или трансформацию исходной определенности, а именно как непрерывное преобразование элементов, в которых выражается ее положение. Изменение этих элементов дает нам ряд пространственных образов, индивидуально различных и в то же время генетически связанных. Известные же соотношения которые были указаны выше, остаются инвариантными для всей системы в целом. Они-то и являются критерием проективного преобразования.

Инварианты непрерывного преобразования являются свойством не отдельной фигуры, а именно систематически рассматриваемой их совокупности. Ряд метаморфоз, которые претерпевает фигура при ее проективных преобразованиях, приводит в конце концов к такому образу, в котором трудно или совершенно невозможно усмотреть первоначальный образ, и тем не менее фигура, элементы которой установлены в аксиоматике, остается в своей определенности тождественной самой себе. Это и дает возможность за индивидуальной формой данной фигуры рассмотреть ее геометрическую сущность.

Математический генезис превращенной формы, разумеется, будет иметь только тот специфически логический смысл, о котором говорилось выше. Если некоторую фигуру, имеющую форму эллипса, мы рассматриваем как результат проективного преобразования круга, то это вовсе не значит, что в своем реальном генезисе объекты, имеющие форму эллипса, возникают из вида, имеющего форму круга.

Принцип анализа взаимных отношений геометрических объектов развивается и далее, и уже не только применительно к отдельным геометрическим фигурам в рамках той или иной (Евклидовой или неевклидовой) геометрии, но и применительно к самим отдельным геометриям и позволяет решать не только вопрос о свойствах отдельной геометрической фигуры, скажем, в Евклидовом пространстве, но и о месте самого Евклидова пространства в некотором обобщенном пространстве, например в геометрии Клейна или Римана.

Здесь становится совершенно ясным различие между геометрией как математикой и геометрией как физикой. В самом деле, если мы рассматриваем геометрию Евклида или Лобачевского как частные случаи геометрии Римана и если мы придаем их понятиям некоторый абсолютный физический смысл, например, трехмерности этих пространств, то говорить о месте трехмерного пространства в бесконечномерном пространстве Римана физически бессмысленно, хотя математически это имеет определенный и глубокий смысл. Трехмерное пространство не существует «в» бесконечномерном; относительно любого физического объекта мы можем сказать, что он существует только в трехмерном или, в крайнем случае, четырехмерном «пространстве-времени» Эйнштейна – Минковского, но никак не в бесконечномерном. О математическом же смысле такого существования стоит говорить.

Создание геометрии групп преобразований Клейна и геометрии Римана позволило обобщить не только свойства отдельных фигур в рамках той или иной геометрии или того или иного пространства, но сами геометрии и сами пространства в рамках более абстрактных математических пространств. При этом все более и более выяснялся математический характер геометрических понятий. Становилось все более явным, что геометрия изучает не те или иные субстанциальные пространственные формы, но отношения, подобные пространственным, независимо от абсолютного содержания компонентов этого отношения. Так, например, в современной геометрии рассматривается не только пространство точек и линий, но и «пространство» цветов, «фазовое пространство» какой-либо механической системы, функциональные пространства как совокупности объектов, каждый из которых не может быть задан конечным числом данных, т.е. бесконечномерные пространства.

«Под “пространством” в математике понимают вообще любую совокупность однородных объектов (явлений, состояний, функций, фигур, значений переменных и т.п.), между которыми имеются отношения, подобные обычным пространственным отношениям (непрерывность, расстояние и т.п.). При этом, рассматривая данную совокупность объектов как пространство, отвлекаются от всех свойств этих объектов, кроме тех, которые определяются этими принятыми во внимание пространственно подобными отношениями. Эти отношения определяют то, что можно назвать строением или «геометрией» пространства. Сами объекты играют роль «точек» такого пространства; «фигуры» – это множество его «точек». Предмет геометрии данного пространства составляют те свойства пространства и фигур в нем, которые определяются принятыми в расчет пространственно подобными отношениями. Так, например, при рассмотрении пространства непрерывных функций вовсе не занимаются свойствами отдельных функций самих по себе. Функция играет здесь роль точки, и, стало быть, «не имеет частей», не имеет в этом смысле никакого строения, никаких свойств вне связи с другими точками; точнее, от всего этого отвлекаются. В функциональном пространстве свойства функций определяют только через их отношения друг к другу – через расстояния и через другие отношения, которые можно вывести из расстояния»[143].

Для того чтобы раскрыть закономерности, внутренние для пространственных свойств объектов, необходимо подвергнуть анализу данное свойство, выделить в нем его абстрактные аналитические компоненты и установить зависимость между ними, восстанавливающую целостный образ данного свойства.

Такими внутренними для геометрических свойств компонентами являются точки, прямые, плоскости. Отношения, связывающие эти геометрические объекты внутренним для исследуемого свойства способом, суть отношения инцидентности, порядка, конгруэнтности, параллельности, непрерывности. «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками...;вещи второй системы называем прямыми; вещи третьей системы мы называем плоскостями...; точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые – элементами плоской геометрии, или элементами пространства[144].

Все эти геометрические объекты или «вещи», как выражается Гильберт, имеют лишь относительное значение, имеют смысл лишь постольку, поскольку они рассматриваются в систематической связи друг с другом, описывающей внутреннее строение геометрических свойств реальности. Совершенно бессмысленно ставить вопрос об их объективном значении вне этой системы отношений, так как объективным значением обладает лишь вся система в целом, но никак не ее отдельные элементы.

Аксиоматика поэтому вовсе не открывает путь в некое царство хрупких геометрических объектов, доступных лишь умозрению, отличных от физических, чувственно постигаемых объектов. Аксиоматика позволяет раскрыть рациональную форму зависимости эмпирически данных свойств, состоящую (как уже было показано выше) в установлении отношений между однородными фактами.

С помощью аксиоматики объекты теории не задаются, но лишь определяется форма их рационального постижения, способ анализа опытных данных. Этот способ, в котором выражается внутреннее строение исследуемого свойства, должен оставаться неизменным на протяжении всего исследования, что и является причиной дедуктивного построения математических теорий.

Область внутренних отношений предмета математической теории оказывается доступной только через аксиоматику, которая поэтому играет такую большую роль в математике. «Можно сказать, что количественные отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что предусмотрено в их определении. Из этих общих свойств количественных отношений легко объясняются основные особенности математики как науки о такого рода отношениях. Ее по преимуществу дедуктивный характер объясняется тем, что все свойства чистых отношений должны содержаться в самом их определении»[145].

Таким образом, объекты математики должны быть выделены, отвлечены от других объектов в реальности и рассмотрены в чистом виде. Для того чтобы определить количественные свойства вещей в явной, расчлененной, эксплицитной понятийной форме, опытные данные необходимо подвергнуть анализу, изолировать количественные свойства и представить их в чистом виде, расчленить имплицитное и установить внутри него зависимости и отношения, выявить внутренние для данного свойства связи и закономерности, т.е. сделать то, что делается, например, при выявлении аксиом математической теории и ее основных понятий.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное»[146].

Или: «Безразличие количественных соотношений и пространственных форм объективной реальности по отношению к качественному содержанию представляет собой объективный факт, составляющий фундамент математики. Предмет математики составляют те формы и отношения действительности, которые объективно обладают такой степенью безразличия к содержанию, что могут быть от него полностью отвлечены и определены в общем виде с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы служить основанием для чисто логического развития теории»[147].

Это отвлечение и составляет условие монистического познания в математике.

Между тем, при отвлечении от качественного содержания реальных объектов их количественная определенность становится совершенно неопределенной, она как бы повисает в воздухе. Для того чтобы математические абстракции приобрели «ясность», «точность» и «богатство связей», которые действительно отличают математику, необходимо установить некоторые внутренние различия для «безразличного», внутренние отношения, которые именно математически сообщили бы количественным понятиям адекватную определенность.

Иными словами, если количественные понятия употребляются для измерения качественных объектов, то сама количественная область может быть «измерена» лишь собственным, внутренним масштабом. Этим единственным путем для математики оказывается путь анализа отношений количеств. Содержание математических абстракций определяется исключительно их отношением к другим таким же количественным абстракциям. Эти закономерные отношения и составляют внутренний, логический нерв математики, организующий количественные объекты во внутренне спаянную систему, во всех своих элементах поддерживающую самое себя.

Задача математики и состоит в том, чтобы изыскать такие средства, выработать такие абстракции, отношения которых внутренним образом описывали бы закономерности количественной области, т.е. установить различия, внутренние для количества как «безразличной» по отношению к содержанию явлений определенности, как гомогенной, чисто количественной предметной области.

В ее задачу, таким образом, не входит чисто рациональное, априорное выведение количеств из внутренней логики «чистого разума» (такое выведение совершенно невозможно), но изыскание средств рационального, логического, понятийного выражения эмпирически данных количественных определений, т.е. выработка системы абстракций, отношение которых позволяет раскрыть внутренние закономерности количественной области. Через эти отношения чистых количеств область количественных понятий приобретает собственный центр, собственный смысл, собственную логику и относительно самодовлеющее значение.

Для того, чтобы рассмотреть абстрагированное свойство само по себе, необходимо выявить его структуру, т.е. расчленить на внутренние для него элементы, отношение которых определит содержание данного свойства. За пределами данного свойства, отношения его элементы не могут иметь самостоятельного значения; значение их определяется содержанием данного свойства, следовательно – их взаимным отношением.

Поэтому абстрагирование составляет лишь первый шаг научного познания. Дальнейшее движение состоит в том, чтобы дать определение абстрактного свойства, отобразить его как внутренне определенный, внутренне конкретный объект. Так, например, если мы имеем сферу как абстрактный геометрический образ шарообразного физического тела, то определить, что такое сфера, взятая сама по себе, мы можем лишь через отношение внутренних для этого абстрактного геометрического образа элементов; таковыми являются радиус сферы, геодезические линии ее поверхности, точки в отношении к геодезическим линиям, т.е. «объекты», внутренне присущие данному абстрактному свойству. Закономерное отношение этих «объектов» даст вполне точное, соответствующее существу дела определение свойства, безразличного к качественной определенности. Понятно отсюда, что элементами или «частями» такого математического объекта не могут быть части физического тела, так как последнее качественно. Поэтому-то арифметика и не обязана давать нам сведения о «населении Соединенных Штатов», а геометрия – о строении физического пространства.

Ту же функцию – служить средством выражения одних математических фактов через их отношение к другим – выполняют и так называемые «идеальные элементы». Этой задаче отвечало, например, введение Куммером в теорию чисел «идеальных чисел» для восстановления первоначально утрачиваемых при переходе от рациональных чисел к алгебраическим законов разложения на множители; введение в геометрию мнимых величин для установления некоторых общих теорем о точках пересечения алгебраических поверхностей и кривых; введение Понселе в его проективной геометрии бесконечно удаленной точки, в которой пересекаются параллельные прямые, в результате чего упрощаются соотношения инцидентности (принадлежности) между точками и прямыми (связь метрической и проективной геометрии) и т.п.

Ставить вопрос о реальности этих элементов вне логической связи в системе понятий – значит игнорировать весь сложный путь образования абстракций, диалектику научно-теоретического познания. «Любая абстракция, отделенная от конкретного основания, – как число отвлекается от конкретных совокупностей предметов, – “сама по себе” не имеет смысла, она живет только в связях с другими понятиями... Вне их она лишается содержания и значения, т.е. просто не существует. Содержание понятия отвлеченного числа лежит в законах, в связях системы чисел»[148].

Действительно, абстракция – не копия фактического положения вещей, а элемент логической связи, раскрывающей содержание фактически данного свойства. Вне этой связи она лишена смысла.

Постижение рациональной связи количественных определений предполагает монистический, имманентно-математический подход к ним, опирается на установление различий, внутренних для этой количественной, а не качественной области вещей. Поэтому-то математика ничего и не говорит о «вещах» внешнего мира, ибо последние представляют собой качественные единицы.

Категория вещи, все категории вещественно-расчлененного эмпирического мира и человеческого опыта имеют качественную природу. Поэтому высказывание математики о мире качественно конечных вещей представляло бы собой попытку говорить на чужом для нее языке. Принцип монизма, будучи принципом рационального познания, обязывает рассматривать исследуемые объекты как проявления присущего им внутреннего единства и отвлекаться от связей, гетерогенных данной области. Поэтому рациональное познание количественных определений заведомо предполагает отвлечение от качественно-вещественных категорий опыта.

Но это вовсе не значит, что математика вообще отвлекается от реального мира, что она – лишь область спонтанного творчества разума. Математические истины столь же объективны, сколь и всякие другие научные истины, но для них вовсе не обязателен эмпирический характер. Количественная определенность вещей в известных пределах безразлична к их качественной природе. В рамках этого безразличия и подвизается математика.

Предметы непосредственного опыта, эмпирического знания имеют конечный, качественно-количественный характер. Границы количественной определенности вещи положены качеством этой вещи, внешним по отношению к количеству способом. В этом случае количественное определение вещи не есть самоопределение пространства, не есть его саморазличение, но полагание качественной границы пространства.

Естественно, что математика стремится постичь пространственные определения как положенные не внешним для ее предмета способом, а внутренним. Логическое есть постижение определенного, исследование природы предела. В математике исследуются внутренние пределы количественной области, внутренние для количества определения. Поэтому то, что является определенным для чувства, вовсе не является таковым для математического разума.