4. Метод остатков

§ 40. Метод остатков есть вывод о причине явления, получающийся из исследования сложного явления, в состав которого, кроме известных уже обстоятельств, производящих известное действие, входит ещё некоторая, пока ещё неизвестная, причина, производящая однородное, но добавочное действие. Вывод по методу остатков состоит в заключении, что причиной, производящей это однородное добавочное действие, должно быть то обстоятельство, которое останется в результате вычитания обстоятельств, уже признанных принадлежащими к числу причин наблюдаемого действия, из всей суммы однородных обстоятельств, могущих быть причинами того же действия.

Рассмотрим пример умозаключения по методу остатков и выведем его схему.

Известно, что Луна в полнолуние, когда по отношению к Солнцу она находится по другую сторону Земли на прямой, соединяющей центры Луны, Земли и Солнца, производит своим притяжением явление прилива, величина которого может быть в каждой данной местности точно измерена. Та же Луна в новолуние, когда по отношению к Солнцу она находится между Землёй и Солнцем на той же прямой, производит своим притяжением то же явление прилива, но более сильное. Какова причина этой добавочной силы прилива?

Для ответа на этот вопрос необходимо из большей величины явления, имеющей место во втором случае, вычесть меньшую величину, полученную в первом случае. Так определяется остаток, соответствующий различию между обстоятельствами явления в первом и во втором случаях. Теперь необходимо определить, в чём состоит и в чём выражается это различие в обстоятельствах. И в момент полнолуния и в момент новолуния притяжение Луны действовало, — если пренебречь небольшой разницей в расстоянии от Луны до Земли в этих фазах, — с одинаковой силой. Но на Землю действует не только притяжение Луны, но также и притяжение Солнца. Это солнечное притяжение даст не одинаковый результат в зависимости от положения Луны относительно Земли. В момент новолуния, когда Луна находится между Землёй и Солнцем, притяжение Земли Солнцем и Луной действует в одном и том же направлении. Поэтому результат этого притяжения складывается. В момент полнолуния притяжение Земли Луной ослабляется направленным в противоположную сторону притяжением Солнца. Поэтому из величины, измеряющей силу притяжения Земли Луной, в случае полнолуния приходится вычитать величину, которой измеряется сила притяжения Земли Солнцем. Остаток этот, очевидно, будет объяснять замеченное и измеренное различие в высоте прилива в обоих случаях (см. рис. 66).

Рис. 66

В общей форме умозаключение по методу остатков может быть изображено следующей схемой:

§ 41. Из примера и из схемы видно, что метод остатков есть умозаключение от некоторой совокупности к её элементам или частям. Вывод состоит здесь в том, что, рассмотрев совокупность обстоятельств ABC, которая характеризуется тем, что она одна может быть причиной сложного явления abc, и сопоставив её с элементами этой совокупности В и С, о которых уже известно, что В есть причина составной части b, а С — причина составной части с, сложного явления abc, мы заключаем, что причина последней составной части а сложного явления abc есть то обстоятельство А, которое получается вследствие вычитання из всей совокупности ABC её частей В и С.

Вывод по методу остатков так же, как выводы по методу сходства и различия, есть вывод исключения: из числа всех обстоятельств ABC, которые в своей совокупности составляют причину сложного составного явления abc, исключаются все те обстоятельства (В и С), которые, будучи каждое причиной соответствующих частей b и с всего явления abc, не могут быть причиной части а этого явления.

§ 42. Метод остатков широко применяется в науке при исследовании причинных связей. Во множестве случаев наука открывает причинную связь, исследуя часть явления, получившуюся после вычитания всей остальной части, уже познанной ранее и сведённой к известным причинам. Так, о существовании целого ряда новых химических элементов узнали, установив, что в спектрах некоторых сложных веществ помимо спектральных линий, вызываемых присутствием в этих веществах известных науке элементов, имеются ещё другие спектральные линии. Линии эти не совпадают с линиями известных элементов и потому доказывают присутствие в составе исследуемого сложного вещества каких-то новых, ранее неизвестных элементов.

Тип умозаключения, лежащий в основе метода остатков, не ограничивается в своём применении одними лишь индуктивными выводами о причинной связи. Тот же по существу тип умозаключения находит широкое применение в неиндуктивных несиллогистических выводах, например в некоторых выводах математических наук.

В науках этих постоянно встречаются умозаключения вроде следующего: «Если А+В+С+D = a+b+c+d и если B+C+D = b+c+d, то отсюда следует, что А = а». Вывод этот и бесчисленные выводы, ему подобные, основываются на аксиоме: «Если от равных величин отнять равные величины, то и остатки будут равные». Но аксиома эта, как и схема вывода по методу остатков, представляет с логической точки зрения лишь различные случаи применения одной и той же формы умозаключения — от совокупности к её части.

Логическая особенность всех выводов этого типа состоит в том, что в них умозаключение основывается на рассмотрении уже не отношений между родом и видом или логической группой и предметами этой группы, а на рассмотрении отношений между некоторой совокупностью, представляющей известное целое, и элементами, или частями, этой совокупности. Когда в выводе по методу остатков в одной из посылок вывода утверждается, что обстоятельства ABC — единственные, которые могут быть причиной сложного явления аbс, — определение это относится не к А в отдельности, и не к В, и не к С, но лишь к их совокупности, рассматриваемой как некоторое целое. Отдельно взятое А есть причина только а, а не всего явления аbс. В есть причина только b и С — причина только с. Только совокупность всех обстоятельств ABC есть причина всего сложного явления аbc. Именно от совокупности ABC к её части А как причине а мы заключаем в выводе.

Этим вывод по методу остатков существенно отличается, например, от силлогизма первой фигуры. Правда, в силлогизме первой фигуры вывод идёт, как и в умозаключении, по методу остатков, также от общего к частному. Но этим общим в случае силлогизма оказывается не совокупность, а род; зная, что всему роду М принадлежит предикат Р и что S принадлежит роду М как его вид, мы заключаем, что предикат Р должен принадлежать также и всему S как одному из видов рода М.

Нетрудно видеть, что здесь предикат Р или определение рода М есть такое определение, которое прилагается не только к совокупности всех предметов, составляющих М, но и к каждому из предметов, составляющих эту совокупность, в отдельности. Это значит, что предикат Р принадлежит не совокупному соединению всех предметов, составляющих род М, но каждому из предметов рода М порознь. Самый вывод состоит здесь в том, что, в силу логического тождества любого предмета вида S с любым предметом рода М, предикат Р каждого предмета рода М должен быть признан в то же время и предикатом каждого предмета вида S, т. е. переносится с рода М на вид S.