Доказательство

§ 1. Всякая истина есть не только верное суждение, т. е. суждение, соответствующее фактам. Всякая истина есть, кроме того, суждение обоснованное, т. е. суждение, высказывание которого сопровождается указанием оснований, в силу которых оно истинно и должно быть признано истинным.

Есть суждения, истинность которых удостоверяется простым восприятием. Такие суждения называются непосредственно очевидными и не нуждаются в доказательстве. Примеры непосредственно очевидных суждений: «я вижу что-то белое», «эта линия — ломаная».

Некоторые из непосредственно очевидных суждений составляют основу целого ряда истин, в том числе не обладающих очевидностью, но относящихся к одной и той же области знания. Такие суждения называются аксиомами. Пример аксиомы: «целое больше своей части».

Суждения, истинность которых не имеет непосредственной очевидности, доказываются, т. е. приводятся к очевидности, посредством указания оснований, в силу которых они являются истинными.

Доказательность, как мы уже знаем, есть одно из важнейших условий научного знания. Огромное большинство научных истин не дано непосредственно нашему восприятию. Более того. Непосредственное восприятие часто вводит нас в заблуждение, так как часто показывает нам явления не такими, каковы они в действительности. Например, для непосредственного восприятия только что взошедшая Луна кажется большей по величине, чем та же Луна, когда она высоко поднимется над землёй. В действительности угол, под которым виден поперечник Луны, один и тот же и в тот момент, когда Луна восходит, и в тот, когда она стоит высоко над горизонтом. Так как очевидность восприятия может быть обманчивой, то в наиболее точных науках, как математика, не доверяют непосредственной очевидности восприятия и стремятся доказывать, по возможности, все истины, за исключением крайне небольшого числа аксиом. Но и аксиомы время от времени пересматривались в математике с целью установить, не может ли быть число их уменьшено посредством доказательства тех из них, которые в сравнении с остальными представляются не столь очевидными.

§ 2. В широком смысле слова доказательством называется всякий способ уяснения оснований, по которым известное суждение считается истинным. В этом широком смысле слова к доказательствам принадлежат также и выводы, или умозаключения.

При выводе основанием для заключения является не непосредственное восприятие, но истинность других суждений, признав которые в качестве истинных мы не можем не признать истинным и заключение. При выводе истинность суждения не просто утверждается, но доказывается. Однако доказательство здесь состоит лишь в усмотрении необходимой связи между посылками и заключением, самые же посылки принимаются в качестве истинных без исследования и без проверки их истинности.

§ 3. В более узком и специальном смысле доказательством называется не всякий вывод, но особый вид вывода или особая форма обоснования истины. В этом — специальном — смысле доказательством называется исследование истинности (или ложности) суждений. А именно: доказательство есть такое умозаключение, посредством которого удостоверяется истинность (или ложность) данного суждения.

Сравним с этой точки зрения два следующих вывода:

Первый. «Так как все злаки цветут колосками и так как все бамбуки — злаки, то все бамбуки также цветут колосками».

Второй. «Если верно, что все злаки цветут колосками, а также что все бамбуки — злаки, и если умозаключение правильно, то верно и то, что все бамбуки цветут колосками. Но утверждения, что все злаки цветут колосками и что все бамбуки — злаки, истинны. Также правилен и самый ход умозаключения. Следовательно, заключение, что все бамбуки цветут колосками, истинно».

В широком смысле понятия оба эти вывода — доказательства. В специальном смысле понятия доказательством будет лишь второй вывод, первый же будет обыкновенным умозаключением. Первый вывод есть усмотрение необходимой связи между посылками и заключением. Второй вывод есть доказательство того, что заключение, т. е. суждение «все бамбуки цветут колосками», истинно. Первый вывод состоит только из сопоставления посылок и из усмотрения вытекающего из них заключения. Второй — более сложен и представляет умозаключение об умозаключении. А именно: умозаключение, составляющее предмет другого умозаключения, есть условное умозаключение: «Если суждения «все злаки цветут колосками» и «все бамбуки — злаки» истинны и если само умозаключение — правильное, то заключение «все бамбуки цветут колосками» истинно». Второе умозаключение удостоверяет истинность первого: «Так как истинно, что все злаки цветут колосками и что все бамбуки—злаки, и так как умозаключение оказалось правильным, то заключение «все бамбуки цветут колосками» истинно».

§ 4. Можно было бы подумать, будто отличие вывода, или умозаключения, от доказательства состоит в том, что в выводе мысль идёт от посылок к заключению, а в доказательстве, напротив, — от доказываемого положения к посылкам, или основаниям, из которых оно выводится.

В действительности как в выводе, так и в доказательстве ход мысли может быть и тот и другой. В одних случаях вывод состоит в том, что даны посылки и требуется извлечь из них заключение. Например, даны посылки: «калий — металл», «калий не тонет в воде»; требуется ответить на вопрос: какое заключение следует из этих посылок? Ответ: «некоторые металлы не тонут в воде». Здесь мысль идёт от посылок к заключению.

Другой пример. Дано суждение: «некоторые металлы не тонут в воде»; требуется ответить на вопрос: какими посылками может быть обосновано это суждение как заключение вывода? Ответ: такими посылками могут быть, например, посылки: «калий — металл» и «калий не тонет в воде». Здесь мысль идёт от заключения к обосновывающим это заключение посылкам.

Но не иначе обстоит дело и с доказательством. И в доказательстве возможны, как мы убедимся ниже, два способа установления истинности доказываемого положения: один состоит в том, что от установленных или признанных положений рассуждение идёт через ряд следствий, выведенных из этих положений, к доказываемому суждению; другой состоит в том, что, рассмотрев доказываемое суждение, показывают, что, при условии, если это суждение принято в качестве истинного, из него вытекает ряд положений, истинность которых уже установлена и которые были доказаны другими способами.

Таким образом, отличие доказательства от вывода, или умозаключения, вовсе не в том, что в выводе мысль идёт от посылок к заключению, а в доказательстве — наоборот. И в выводе и в доказательстве равно возможны оба эти хода мысли.

Главное отличие доказательства от вывода состоит в том, что вывод есть усмотрение необходимой связи между понятиями, образующими выводное суждение, доказательство же есть не только усмотрение связи между понятиями, но и усмотрение истинности суждения. Понятно, что там, где истинность суждения обосновывается, как в рассмотренном выше примере, посредством умозаключения, доказательство принимает форму умозаключения об умозаключении.

§ 5. Этим различием между выводом и доказательством определяется строение доказательства.

С логической точки зрения доказательство не есть самый процесс доказывания. Доказательство есть особая логическая форма, выражающая логический результат уже состоявшегося процесса доказывания, т. е. оправдания (или опровержения) доказываемого (или опровергаемого) положения.

Во всяком доказательстве имеется налицо, во-первых, доказываемое положение, удостоверяющее, что известный тезис истинен (или, наоборот, ложен). Так, в рассмотренном нами примере доказываемым положением является положение: «заключение, что все бамбуки цветут колосками, истинно». Отсюда видно, что доказываемое положение должно быть отличаемо от тезиса. Тезис есть то суждение, истинность или ложность которого доказывается. В нашем примере тезис — суждение: «все бамбуки цветут колосками». Доказываемое положение есть суждение о тезисе, или суждение, в котором тезис удостоверяется в качестве истинного или ложного. В нашем примере доказываемым положением будет следующее: «заключение, что все бамбуки цветут колосками, истинно». Доказываемое положение заключает в себе тезис как свою часть.

Различие между доказываемым положением и тезисом ясно выступает в доказательствах, задачей которых является опровержение, т. е. доказательство ложности рассматриваемого тезиса. При опровержении доказываемое положение всегда формулируется так, чтобы ясно было не только то, о каком тезисе идёт речь, но и то, что тезис этот ложен. Здесь раздельно даются и тезис и характеристика этого тезиса в качестве ложного.

Напротив, в доказательствах, задачей которых является оправдание, т. е. доказательство истинности, рассматриваемого тезиса, доказываемое положение очень часто формулируется так, что выражается только самый тезис, характеристика же истинности тезиса опускается. В нашем примере доказываемое положение вместо полной формы («суждение «все бамбуки — злаки» истинно») могло бы быть выражено и в сокращённой форме: «все бамбуки — злаки».

Однако независимо от того, состоит ли доказываемое положение из одного лишь тезиса или из тезиса, сопровождаемого отдельной характеристикой его истинности (или ложности), главная задача всякого доказательства заключается именно в характеристике истинности (или ложности) тезиса. Там, где доказываемое положение состоит из одного лишь тезиса, характеристика сливается в одно целое с утверждением тезиса, но не теряет от этого своего значения.

Вторая составная часть всякого доказательства — основания, т. е. суждения, истинность которых или уже установлена, или по крайней мере предполагается несомненной и которые поэтому могут служить посылками умозаключений, при посредстве которых доказывается положение об истинности (или ложности) тезиса.

Третья составная часть всякого доказательства — рассуждение (аргументация, демонстрация), т. е. ряд умозаключений, доказывающих истинность (или ложность) тезиса. В рассуждении сопоставляются основания, выступающие в качестве посылок умозаключений, с выводами, которые из этих оснований следуют. Для обозначения частей доказательства в целом употребляются иногда термины «довод» и «аргумент». Иногда «доводом» (или «аргументом») называют всё доказательство в целом, т. е. тезис, основания и рассуждение. Иногда же терминами этими обозначаются основания доказательства.