Возникновение и развитие чистой математики связано с развитием общественного производства и наук

Относительно всей чистой математики господин Дюринг думает, что он может ее — как и основные формы бытия — вывести априорно, т. е. прямо из головы, не прибегая к опыту из внешнего мира. В чистой математике, уверяет он, рассудок занимается «своими собственными свободными творениями и фантазиями»; понятия числа и фигуры составляют «достаточный для нее и создаваемый ей самой объект», и, таким образом, она имеет «значимость, не зависящую от частного опыта и реального содержания мира.

Что чистая математика имеет значимость, не зависящую от специального опыта каждой отдельной личности, это, конечно, верно и применимо ко всем прочно установленным фактам всех наук, да и вообще ко всем фактам. Магнитные полюсы, состав воды из водорода и кислорода, тот факт, что Гегель мертв, а господин Дюринг жив, имеют значимость независимо от моего опыта или опыта других отдельных людей, даже независимо от опыта господина Дюринга, когда он спит сном праведника. Но отсюда вовсе не следует, что рассудок в чистой математике имеет дело только со своими «собственными творениями и фантазиями». Понятия числа и фигуры заимствованы именно из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первое арифметическое действие, представляют что угодно, но только не свободное творение рассудка. Для счета необходимы не только объекты счета, но также уже и способность при рассмотрении этих объектов отвлекаться от всех их свойств, кроме их числа, а эта способность — продукт долгого исторического эмпирического развития. Понятие фигуры, как и понятие числа, заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло вовсе в голове из чистого мышления. Раньше, чем люди могли прийти к понятию фигуры, должны были существовать вещи, которые имели форму и формы которых сравнивали. Чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, т. е. весьма реальное содержание. Тот факт, что это содержание проявляется в крайне абстрактной форме, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Чтобы изучить эти формы и отношения в их чистом виде, следует их оторвать совершенно от их содержания, устранить его как нечто безразличное для дела. Так получаются точки без протяжения, линии без толщины и ширины, а и b, х и у, постоянные и переменные, лишь в самом конце мы приходим к настоящим «свободным творениям и фантазиям» рассудка, именно к мнимым величинам. Точно так же выведение математических величин как будто бы друг из друга доказывает не их априорное происхождение, но только их рациональную связь. Прежде чем пришли к мысли выводить форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, нужно было исследовать немало реальных прямоугольников и цилиндров, хотя бы и в весьма несовершенной форме. Как и прочие науки, математика возникла из потребностей человека: из измерения земли и вместимости сосудов, из исчисления времени и механики. Но, как и во всех областях мышления, отвлеченные из действительного мира законы на известной ступени развития отрываются от действительного мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, по которым должен направляться мир. Так было с обществом и государством; так, а не иначе, применяется впоследствии чистая математика к миру, хотя она и заимствована из этого мира и представляет только часть его составных форм, и, собственно, только поэтому она вообще применима к нему...

Математические аксиомы представляют собой выражения крайне скудного умственного содержания, которое математика должна заимствовать у логики. Их можно свести к двум следующим аксиомам:

1. Целое больше части. Это положение есть чистая тавтология, так как взятое в количественном смысле представление «часть» уже заранее отнесено определенным образом к представлению «целое», — именно так, что понятие «часть» означает попросту, что количественное «целое» состоит из нескольких количественных «частей». Оттого, что указанная аксиома выражает это явным образом, мы ни на шаг не подвигаемся дальше. Можно даже известным образом доказать эту тавтологию, можно сказать: целое есть то, что состоит из нескольких частей; часть есть то, несколько экземпляров чего составляет целое, следовательно, часть меньше целого. Ясно, что благодаря пустоте повторения здесь только резче проявляется пустота содержания.

2. Если две величины равны третьей, то они равны между собой. Это положение, как показал еще Гегель, представляет собой умозаключение, за правильность которого ручается логика; оно, значит, доказывается, хотя и вне области чистой математики. Прочие аксиомы о равенстве и неравенстве являются просто логическим развитием этого умозаключения.

Этими тощими положениями ни в математике, ни где-либо вообще никого не соблазнишь. Чтобы двинуться дальше, мы должны привлечь реальные отношения, отношения и пространственные формы, взятые из реальных тел. Все представления о линиях, поверхностях, углах, о многоугольниках, кубах, шарах и т. д. заимствованы из действительности, и нужна известная доза идеологической наивности, чтобы поверить математикам, будто первая линия возникла от движения точки в пространстве, первая поверхность — от движения линии, первое тело — от движения поверхности и т. д. Уже язык протестует против этого. Математическая фигура трех измерений называется телом, corpus solidum, что по-латыни означает даже осязаемое тело, т. е. она носит название, являющееся продуктом не «свободной фантазии» рассудка, а взятое из грубой действительности. (Энгельс, Анти-Дюринг, стр. 25 — 27, 1932 г.)