5.3. Удивительные алгебры

5.3. Удивительные алгебры

Приведенная выше «история глобального времени» полностью основана на классической физике, иными словами, выстроена без учета квантовых эффектов. Мы знаем, однако, что достаточно близко к изначальной сингулярности (математически соответствующей Большому взрыву) и достаточно глубоко в структуре Вселенной (ниже так называемого планковского масштаба) на сцене доминируют квантовые эффекты, и в этом случае предстающая нам картина разительно отличается от того, к чему мы привыкли в классической физике. Из?за принципа неопределенности Гейзенберга пространство–время становится размытым, и мы уже не можем представить историю какой?либо частицы в пространстве–времени в виде четко определенной траектории. Ниже планковского масштаба вещество Вселенной можно представить себе как собрание квантовых флуктуации, множество состояний, непрерывно возникающих и распадающихся.

Эти представления идут из квантовой механики, однако мы вполне уверены, что на фундаментальном уровне (ниже планковского масштаба) квантовую физику следует объединить с теорией гравитации. Наилучший классический кандидат на теорию гравитации — общая теория относительности Эйнштейна. Нам необходима модель мира, в которой пространство–время общей теории относительности возникает из квантовых флуктуации, когда эволюция пересекает планковский порог. В наше время общепризнанной модели такого рода не существует, хотя известны многочисленные попытки ее создать. В дальнейшем я представлю красивую математическую структуру, по–видимому, обладающую всеми необходимыми для объединения свойствами. Даже если эта структура не будет использоваться в окончательном объединении, она открывает увлекательные перспективы возможного взаимодействия между такими важными понятиями физики, как пространство, время, динамика, каузальность и вероятность — понятиями, которые, несомненно, будут использоваться при объединении. Эта математическая структура называется С*-алгеброй[32].

С*-алгебры хорошо известны в квантовой механике. Стандартная математическая формулировка этой физической теории дается в терминах состояний данной квантовой системы, которые представляются как векторы в пространстве, называемом гильбертовым. Однако существует и другая формулировка квантовой механики, а именно формулировка в терминах С*-алгебр. Эта формулировка даже более удовлетворительна, чем стандартная. Почему? Потому что элементами этой алгебры являются измеряемые свойства квантовых систем (так называемые наблюдаемые); а измеряемые свойства в физике всегда более фундаментальны, чем чисто теоретические.

Как ни удивительно, С*-алгебры можно использовать и для формулирования общей теории относительности Эйнштейна. Обычно общая теория относительности формулируется в терминах пространственно–временной геометрии, но Роберт Герох [4] продемонстрировал, что возможна эквивалентная формулировка в терминах семейства всех гладких функций в пространстве–времени, а это семейство собственно и есть С*-алгебра. Иными словами, можно забыть о самом пространстве–времени и иметь дело исключительно с С*-алгеброй гладких функций[33].

Эта алгебра гладких функций обладает одним простым свойством: умножение двух функций не зависит от порядка факторов, то есть если f и g — гладкие функции в пространстве–времени, то f?g = g?f; такое умножение мы называем коммутативным, а алгебры, обладающие таким свойством, — коммутативными алгебрами. Оказывается, от этого простого свойства зависят многие важные черты геометрических пространств. Это становится очевидно, если мы от него избавимся. Алгебры, лишенные этого свойства, именуются некоммутативными алгебрами. Ален Коннэ [1] предложил рассматривать эти алгебры так же, как алгебры гладких функций, и допустить, что они также определяют некоторые пространства. Эта идея сработала, и эти новые пространства сейчас называются соответственно некоммутативными пространствами. Геометрическая теория, выросшая из исходной работы Коннэ, названа некоммутативной геометрией. Особую роль в этой новой геометрической теории играют пространства, определяемые в терминах некоммутативных С*-алгебр.

Некоммутативные пространства представляют собой мощные обобщения обычных (коммутативных) пространств. Многие пространства, которые до сих пор считались трудно описываемыми или патологическими, изящно ложатся в картину некоммутативной геометрии. Удивительное свойство некоммутативных пространств — их глобальный характер. В понятийном поле некоммутативной геометрии все локальные понятия, такие, как понятия точки и ее окрестностей, бессмысленны в принципе.

Подведем итоги. С*-алгебры можно использовать:

1. Для формулировки квантовой механики.

2. Для формулировки общей теории относительности.

3. Для определения некоммутативного пространства.

В свете этих результатов вполне естественно искать С*-алгебру, которая могла бы выполнять все это вместе. При этом квантовая механика и общая теория относительности были бы соответственно обобщены и объединены в теоретическом поле некоммутативного пространства. Ценой такого объединения стала бы нелокальность. Дальше я приму, что такая С*-алгебра (обозначим ее буквой А) найдена, и предположу, что она корректно описывает модель физики ниже планковского порога. Отметим, что, даже не зная точной формы алгебры А, из самого ее существования можно вывести множество важных фактов, касающихся гипотетического фундаментального уровня[34]. Важно отметить, что недавно были обнаружены некоторые глубокие связи между некоммутативной геометрией и такими популярными кандидатурами на финальное объединение, как теория суперструн и М–теория [3, 19].