2.10. Возможные формальные возражения против G  (продолжение)

2.10. Возможные формальные возражения против G (продолжение)

Продолжим рассмотрение различных математических возражений, высказываемых время от времени в отношении моей трактовки доказательства Гёделя—Тьюринга. Многие из них тесно связаны друг с другом, однако я полагаю, что в любом случае их будет полезно разъяснить по отдельности.

Q10. Абсолютна ли математическая истина? Как мы уже видели, существуют различные мнения относительно абсолютной истинности утверждений о бесконечных множествах. Можем ли мы доверять доказательствам, опирающимся на какую-то расплывчатую концепцию «математической истины», а не на, скажем, четко определенное понятие формальной ИСТИНЫ?

Что касается формальной системы F, описывающей общую теорию множеств, то, действительно, не всегда ясно, можно ли вообще говорить о каком-то абсолютном смысле, в котором то или иное утверждение о множествах является либо «истинным», либо «ложным», — вследствие чего под сомнение может попасть и само понятие «обоснованности» формальной системы, подобной F. В качестве поясняющего примера приведем один известный результат, полученный Гёделем (1940) и Коэном (1966). Они показали, что определенные математические утверждения (так называемые континуум-гипотеза Кантора и аксиома выбора) никак не зависят от теоретико-множественных аксиом системы Цермело—Френкеля — стандартной формальной системы, обозначаемой здесь через ZF. (Аксиома выбора гласит, что для любой совокупности непустых множеств существует еще одно множество, которое содержит ровно один элемент из каждого множества совокупности^{29}. Согласно же континуум-гипотезе Кантора, количество подмножеств натуральных чисел — равное количеству вещественных чисел — представляет собой вторую по величине бесконечность после множества собственно натуральных чисел^{30}. Читателю нет нужды вникать в скрытый смысл этих утверждений прямо сейчас. Равно как нет нужды и мне углубляться в подробное изложение аксиом и правил процедуры системы ZF.) Некоторые математики убеждены в том, что система ZF охватывает все методы математического рассуждения, необходимые для обычной математики. Некоторые даже утверждают, будто приемлемым математическим доказательством можно считать только такое доказательство, какое можно, в принципе, сформулировать и доказать в рамках системы ZF. (См. комментарий к возражению Q14, где дается оценка применимости к таким субъектам гёделевского доказательства.) Иными словами, эти математики настаивают на том, что ИСТИННЫМИ, ЛОЖНЫМИ и НЕРАЗРЕШИМЫМИ в рамках системы ZF математическими утверждениями можно считать только те утверждения, истинность, ложность и неразрешимость которых, в принципе, устанавливается математическими средствами. Для таких людей аксиома выбора и континуум-гипотеза являются математически неразрешимыми (что, по их мнению, и доказывается выводом Гёделя—Коэна), и они наверняка будут утверждать, что истинность или ложность этих двух математических утверждений суть предметы достаточно условные.

Влияют ли эти кажущиеся неопределенности в отношении абсолютного характера математической истины на выводы, которые мы сделали из доказательства Гёделя—Тьюринга? Никоим образом, так как мы имеем здесь дело с классом математических проблем гораздо более ограниченной природы, нежели те, что, подобно аксиоме выбора и континуум-гипотезе, относятся к неконструктивно-бесконечным множествам. В данном случае нас занимают лишь утверждения вида

«такое-то вычисление никогда не завершается»,

причем рассматриваемые вычисления можно задать совершенно точно через действия машины Тьюринга. Такие утверждения в логике называются ?₁-высказываниями (или, точнее, ?₁⁰- высказываниями). В пределах формальной системы F утверждение G(F) является ?₁-высказыванием, а вот ?(F) таковым не является (см. §2.8). По всей видимости, не существует каких-либо разумных доводов против того, что истинный/ложный характер любого ?₁-высказывания есть предмет абсолютный и никак не зависит от избранного нами мнения относительно предположений, касающихся неконструктивно-бесконечных множеств — таких, например, как аксиома выбора и континуум-гипотеза. (С другой стороны, как мы вскоре убедимся, выбор метода рассуждения, принимаемого нами в качестве инструмента для получения убедительных доказательств ?₁-высказываний, действительно может определяться мнением, которого мы придерживаемся в отношении неконструктивно-бесконечных множеств; см. возражение Q11.) Очевидно, если не считать крайней позиции, занимаемой отдельными интуиционистами (см. комментарий к Q9), единственное здравое возражение по поводу абсолютного характера истинности таких утверждений может быть связано с тем обстоятельством, что некоторые принципиально завершающиеся вычисления могут потребовать для своего выполнения столь непомерно долгого времени, что на практике, вполне возможно, не завершатся, скажем, и за все время жизни Вселенной; может случиться и так, что для записи самого вычисления (пусть и конечного) потребуется так много символов, что физически невозможным окажется составить даже его описание. Впрочем, все эти вопросы были исчерпывающим образом проанализированы выше, в обсуждении возражения Q8; там же мы выяснили, что на наш основной вывод G они никоим образом не влияют. Вспомним и о возражении Q9, рассмотрение которого показало, что интуиционисты в этом случае также не избегают вывода G.

Кроме того, концепция (весьма ограниченная, надо сказать) математической истины, необходимая мне для доказательства Гёделя—Тьюринга, определена, вообще говоря, не менее четко, нежели концепции ИСТИННОГО, ЛОЖНОГО и НЕРАЗРЕШИМОГО для любой формальной системы F. Из сказанного выше (§2.9) нам известно, что существует некий алгоритм F, эквивалентный системе F. Если алгоритму F предстоит обработать некое предположение P (формулируемое на языке системы F), то выполнение этого алгоритма может быть успешно завершено только в том случае, если предположение P доказуемо в соответствии с правилами системы F, т.е. когда предположение P ИСТИННО. Соответственно, предположение P является ЛОЖНЫМ, если алгоритм F успешно завершается при обработке предположения ~ P, и НЕРАЗРЕШИМЫМ, если не завершается ни одно из упомянутых вычислений. Вопрос о том, является ли математическое утверждение P ИСТИННЫМ, ЛОЖНЫМ или НЕРАЗРЕШИМЫМ, в точности совпадает по своей природе с вопросом о реальной истинности утверждений о завершаемости или незавершаемости вычислений — иными словами, о ложности или истинности определенных ?₁-высказываний — а кроме этого для нашего «гёделевско—тьюринговского» доказательства ничего и не требуется.

Q11. Существуют определенные ?₁-высказывания, которые можно доказать с помощью теории бесконечных множеств, однако не известно ни одного доказательства, которое использовало бы стандартные «конечные» методы. Не означает ли это, что даже к таким четко определенным проблемам математики, на деле, подходят субъективно? Различные математики, придерживающиеся в отношении теории множеств разных убеждений, могут применять к оценке математической истинности ?₁-высказываний неэквивалентные критерии.

Этот момент может оказаться существенным в том, что касается моих собственных выводов из доказательства Гёделя(—Тьюринга), и я, возможно, уделил ему недостаточно много внимания в кратком изложении, представленном в НРК. Как ни странно, но возражение Q11, похоже, никого, кроме меня, не обеспокоило — по крайней мере, никто мне на него не указал! В НРК (с. 417, 418), как и здесь, я сформулировал доказательство Гёделя(—Тьюринга) исходя из того, что посредством разума и понимания способны установить все «математики» или «математическое сообщество». Преимущество подобной формулировки, в отличие от рассмотрения вопроса о способности какого-либо конкретного индивидуума к установлению математических истин посредством своего разума и понимания, заключается в том, что первый способ позволяет избежать некоторых возражений, которые нередко выдвигают в отношении той версии доказательства Гёделя, которую предложил Лукас (1961). Самые разные ученые^{31} указывали, к примеру, на то, что «сам Лукас» никак не мог обладать знанием о своем собственном алгоритме. (Некоторые из них говорили то же самое и о варианте доказательства, предложенном мною^{32}, не обратив, судя по всему, внимания на тот факт, что моя формулировка вовсе не настолько «личностна».) Именно возможность сослаться на способности к рассуждению и пониманию, присущие всем «математикам» вообще или «математическому сообществу», позволяет нам избежать необходимости считаться с предположением о том, что различные индивидуумы могут воспринимать математическую истину по-разному, каждый в соответствии с личным непознаваемым алгоритмом. Значительно сложнее смириться с тем, что результатом выполнения некоего непостижимого алгоритма может оказаться коллективное понимание математического сообщества в целом, нежели с тем, что этот самый алгоритм обусловливает математическое понимание всего лишь какого-то конкретного индивидуума. Суть возражения Q11 как раз и заключается в том, что упомянутое коллективное понимание может оказаться совсем не таким универсальным и безличным, каким счел его я.

Утверждения, о каких говорится в Q11, действительно, существуют. То есть существуют ?₁-высказывания, единственные известные доказательства которых опираются на то или иное применение теории бесконечных множеств. Такое ?₁-высказывание может быть результатом арифметического кодирования утверждения типа «аксиомы формальной системы F являются непротиворечивыми», где система F подразумевает манипуляции обширными бесконечными множествами, само существование которых может быть сомнительным. Математик, убежденный в реальном существовании некоторого достаточно обширного неконструктивного множества S, придет к выводу, что система F действительно непротиворечива, тогда как другой математик, который полагает, что множества S не существует, вовсе не обязан считать систему F непротиворечивой. Таким образом, даже ограничив рассмотрение одним вполне определенным вопросом о завершении или незавершении работы машины Тьюринга (т.е. ложности или истинности ?₁-высказываний), мы не можем себе позволить не учитывать субъективности убеждений в отношении, скажем, существования некоторого обширного неконструктивно-бесконечного множества S. Если различные математики используют для установления истинности определенных ?₁-высказываний неэквивалентные «персональные алгоритмы», то, по-видимому, с моей стороны несправедливо говорить о просто «математиках» или «математическом сообществе».

Полагаю, что в строгом смысле это действительно может быть несколько несправедливо; и читатель может при желании перефразировать вывод G следующим образом:

G* Для установления математической истины ни один отдельно взятый математик не применяет только те алгоритмы, какие он (или она) полагает обоснованными.

Представленные мною доводы по-прежнему остаются в силе, однако, мне кажется, некоторые из более поздних утратят значительную часть своей силы, если представить ситуацию в таком виде. Более того, в случае формулировки G* все доказательство уходит в направлении, на мой взгляд, бесперспективном, сосредоточенном, в большей степени, на конкретных механизмах, управляющих действиями конкретных индивидуумов, нежели на принципах, лежащих в основе действий любого из нас. Меня же на данном этапе интересует не столько различия подходов отдельных математиков к той или иной математической проблеме, сколько то общее, что есть между нашим пониманием и нашим математическим восприятием.

Попытаемся разобраться, действительно ли мы вынуждены принять формулировку G*. В самом ли деле суждения математиков настолько субъективны, что они могут принципиально расходиться при установлении истинности какого-то конкретного ?₁-высказывания? (Разумеется, доказательство, устанавливающее истинность ?₁-высказывания, может быть просто-напросто быть слишком громоздким или слишком сложным, чтобы его мог воспроизвести тот или иной математик (см. ниже по тексту возражение Q12), т.е. на практике математики вполне могут разойтись во мнениях. Однако в данном случае нас интересует вовсе не это. Мы занимаемся исключительно принципиальными вопросами.) Вообще говоря, математическое доказательство есть вещь не настолько субъективная, как может показаться на основании вышесказанного. Математики могут придерживаться самых разных — и, на их взгляд, неопровержимо истинных — точек зрения по тем или иным фундаментальным вопросам и во всеуслышание объявлять об этом, однако едва дело доходит до доказательств или опровержений каких-либо вполне определенных конкретных ?₁-высказываний, все разногласия тут же куда-то исчезают. Никто не воспримет всерьез доказательство ?₁-высказывания, утверждающего, по сути своей, непротиворечивость некоторой формальной системы F, если математик будет основывать его только лишь на существовании некоего спорного бесконечного множества S. То, что при этом в действительности доказывается, можно сформулировать следующим, куда более приемлемым, образом: «Если множество S существует, то формальная система F является непротиворечивой, и в этом случае данное ?₁-высказывание истинно».

Тем не менее, могут быть и исключения: например, один математик полагает, что некоторое неконструктивно-бесконечное множество S «с очевидностью» существует — или, по крайней мере, что допущение о его существовании никоим образом не приводит к противоречию, — другой же математик никакой очевидности здесь не усматривает. Дискуссии математиков по таким фундаментальным вопросам могут порой принимать поистине неразрешимый характер. При этом обе стороны могут оказаться, в принципе, неспособны сколько-нибудь убедительно изложить свои доказательства, даже в отношении ?₁-высказываний. Возможно, каждому математику и в самом деле присуще некое особое внутреннее восприятие истинности утверждений, связанных с неконструктивно-бесконечными множествами. Конечно же, математики нередко заявляют о том, что их восприятие таких вещей в корне отличается от восприятия коллег. Однако я полагаю, что такие различия, по сути своей, подобны различиям в ожиданиях, которые различные математики могут иметь и в отношении истинности обычных математических высказываний. Эти ожидания суть всего лишь предварительные предположения. До тех пор, пока не представлено убедительного доказательства или опровержения, математики могут спорить друг с другом об ожидаемой или предполагаемой истинности того или иного положения, однако представление такого доказательства одним из математиков убеждает (в принципе) всех. Что до фундаментальных вопросов, то там этих доказательств как раз нет. Возможно, и не будет. Быть может, их нельзя отыскать по той причине, что их просто-напросто нет, а фундаментальные вопросы допускают существование различных, но равно справедливых точек зрения.

Здесь, однако, следует подчеркнуть еще один связанный с ?₁-высказываниями момент. Возможность наличия у математика ошибочной точки зрения — т.е. такой точки зрения, которая вынуждает его делать неверные выводы в отношении истинности тех или иных ?₁-высказываний, — нас в данный момент не интересует. Нет ничего невероятного в том, что математики порой опираются на неверное в фактическом отношении «понимание» — а то и на необоснованные алгоритмы, — только к настоящему обсуждению это никакого отношения не имеет, поскольку согласуется с выводом G. Впрочем, эту ситуацию мы подробно рассмотрим ниже, в §3.4. Следовательно, дело в данном случае заключается не в том, могут ли разные математики придерживаться противоречащих одна другой точек зрения, а скорее в том, может ли одна точка зрения оказаться, в принципе, мощнее другой. Каждая такая точка зрения будет совершенно справедлива в том, что касается установления истинности ?₁-высказываний, однако какая-то из них сможет, в принципе, дать своим последователям возможность установить, что те или иные вычисления не завершаются, тогда как другие, более слабые, точки зрения на это неспособны; то есть одни математики будут обладать существенно большей способностью к пониманию, нежели другие.

Не думаю, что такая возможность представляет собой сколько-нибудь серьезную угрозу для моей первоначальной формулировки G. Хотя в отношении бесконечных множеств математики и вправе придерживаться различных точек зрения, этих самых точек зрения вовсе не так много: по всей видимости, не более пяти. Существенные в этом смысле расхождения могут быть обусловлены лишь утверждениями, подобными аксиоме выбора (о ней говорилось в комментарии к возражению Q10), которую одни полагают «очевидной», другие же напрочь отвергают связанную с ней неконструктивность. Любопытно, что эти различные точки зрения на собственно аксиому выбора не приводят непосредственно к тому ?₁-высказыванию, относительно справедливости которого возникают разногласия. Ибо, независимо от своей предполагаемой «истинности» или «ложности», аксиома выбора, как показывает теорема Гёделя—Коэна(см. комментарий к Q10), не вступает в противоречие со стандартными аксиомами системы ZF. Могут, однако, существовать и другие спорные аксиомы, соответствующей теоремы для которых нет. Впрочем, обыкновенно, когда речь заходит о принятии или опровержении той или иной теоретико-множественной аксиомы — назовем ее аксиомой Q, — утверждения математиков принимают следующий вид: «Из допущения справедливости аксиомы Q следует, что…». Такое утверждение при всем желании не сможет стать предметом спора между математиками. Аксиома выбора, похоже, является исключением в том смысле, что ее справедливость часто подразумевается без приведения упомянутой оговорки, однако это обстоятельство, по-видимому, никак не противоречит моей общей объективной формулировке вывода G — при условии, что мы ограничимся только ?₁-высказываниями:

G** Для установления истинности ?₁-высказываний математики-люди не применяют заведомо обоснованные алгоритмы,

а этого нам в любом случае вполне достаточно.

Есть ли другие спорные аксиомы, которые одни математики считают «очевидными», а другие ставят под сомнение? Думаю, будет огромным преувеличением сказать, что имеется хотя бы десять существенно различных точек зрения на теоретико-множественные допущения, которые в явном виде как допущения не формулируются. Положим, что их не более десяти, и рассмотрим следствия из этого допущения. Это означает, что существует порядка десяти, по сути, различных классов математиков, различаемых по типу рассуждения в отношении бесконечных множеств, который они полагают «очевидно» истинным. Каждого такого математика можно назвать математиком n-го класса, где n изменяется в весьма узком диапазоне — не более десяти значений. (Чем больше номер класса, тем мощнее будет точка зрения принадлежащих к нему математиков.) Вывод G** принимает в этом случае следующий вид:

G*** Для установления истинности ?₁-высказываний математики-люди n-го класса (где п может принимать лишь несколько значений) не применяют только те алгоритмы, какие они полагают обоснованными.

Так получается, потому что доказательство Гёделя(—Тьюринга) можно применять к каждому классу отдельно. (Важно понять, что само гёделевское доказательство предметом спора между математиками не является, а потому если для любого математика n-го класса гипотетический алгоритм n-го класса будет познаваемо обоснованным, то доказательство приведет к противоречию.) Таким образом, как и в случае с G, дело вовсе не в существовании какого-то невообразимого количества непознаваемо обоснованных алгоритмов, каждый из которых присущ лишь одному конкретному индивидууму. Мы всего лишь исключаем возможность существования некоторого очень небольшого количества неэквивалентных непознаваемо обоснованных алгоритмов, рассортированных в соответствии с их мощностью и образующих в результате различные «школы мышления». В последующем обсуждении различия между вариантами G*** и G либо G** не будут иметь особого значения, поэтому для упрощения изложения я не стану в дальнейшем их как-то различать и буду использовать для них всех одно общее обозначение G.

Q12. Вне зависимости оттого, насколько различных точек зрения придерживаются математики в принципе, на практике те же математики обладают весьма разными способностями к воспроизведению доказательств, разве не так? Не менее различны и их способности к пониманию, позволяющие им совершать математические открытия.

Безусловно, так оно и есть, однако к рассматриваемому вопросу все эти вещи не имеют ну абсолютно никакого отношения. Меня не интересует, какие именно и насколько сложные доказательства математик способен воспроизвести на практике. Еще меньше меня занимает вопрос о том, какие доказательства математик может на практике открыть или какие понимание и вдохновение могут ему в этом способствовать. Здесь мы говорим исключительно о том, доказательства какого типа математики могут, в принципе, воспринимать как обоснованные.

Оговорка «в принципе» используется в наших рассуждениях отнюдь не просто так. Если допустить, что некий математик располагает доказательством или опровержением некоторого ?₁-высказывания, то его разногласия с другими математиками касательно обоснованности данного доказательства разрешимы только в том случае, если у этих самых других математиков хватит времени, терпения, объективности, способностей и решимости с вниманием и пониманием воспроизвести всю — возможно, длинную и хитроумную — цепочку его рассуждений. На практике же математики вполне могут отказаться от всех этих трудов еще до полного разрешения спорных вопросов. Однако подобные проблемы к данному исследованию отношения не имеют. Так как, по всей видимости, существует все же некий вполне определенный смысл, в котором то, что в принципе постижимо для одного математика, оказывается равным образом (если отвлечься на время от возражения Q11) постижимо и для другого, — вообще, для любого человека, способного мыслить. Рассуждения бывают весьма громоздкими, а участвующие в них концепции могут показаться чересчур тонкими или туманными, и тем не менее существуют достаточно убедительные основания полагать, что способность к пониманию одного человека не включает в себя ничего такого, что в принципе недоступно другому человеку. Это применимо и к тем случаям, когда для воспроизведения во всех подробностях чисто вычислительной части доказательства может потребоваться помощь компьютера. Возможно, не совсем разумно ожидать, что математик-человек будет лично выполнять все необходимые для такого доказательства вычисления, и все же он, вне всякого сомнения, сможет без особого труда понять и проверить каждый отдельный его этап.

Здесь я говорю исключительно о сложности математического доказательства и ни в коем случае не о возможных существенных и принципиальных вопросах, которые могут вызвать среди математиков разногласия в отношении выбора допустимых методов рассуждения. Разумеется, я встречал математиков, утверждавших, что они в своей практике сталкивались с такими математическими доказательствами, которые были совершенно вне их компетенции: «Я уверен, что, сколько бы я ни старался, мне никогда не понять того-то или такого-то; этот метод рассуждения мне не по зубам». В каждом конкретном случае подобного заявления необходимо индивидуально решать, действительно ли данный метод рассуждения в принципе выходит за рамки системы убеждений этого математика — каковой случай мы рассматривали в комментарии к возражению Q11, — или он вообще-то смог бы разобраться в принципах, на которых основано это доказательство, если бы только приложил больше сил и затратил больше времени. Как правило, справедливым оказывается последнее. Более того, источником отчаяния нашего математика чаще всего становится туманный стиль изложения или ограниченные лекторские способности «такого-то», а вовсе не то, что какие-то существенные и принципиальные моменты «того-то» действительно выходят за рамки его способностей. Толковое изложение, на первый взгляд, непонятного предмета чудесным образом устраняет все прежние недоразумения.

Чтобы еще раз подчеркнуть, что я имею в виду, скажу следующее: сам я часто посещаю математические семинары, на которых не слежу (а иногда и не пытаюсь следить) за подробностями представляемых доказательств. Наверное, если бы я сел где-нибудь и обстоятельно изучил эти самые доказательства, я и в самом деле смог бы проследить за мыслью автора — хотя, возможно, это удалось бы мне лишь при наличии дополнительной литературы или устных пояснений, которые восполнили бы возможные пробелы в моем образовании или же в материалах самого семинара. Я знаю, что в действительности я этого делать не стану. У меня почти наверняка не окажется на это ни времени, ни достаточного количества внимания, ни, впрочем, особого желания. Но при этом я вполне могу принять представленный на семинаре результат на веру по всевозможным «несущественным» причинам — например, потому что полученный результат правдоподобно «выглядит», или потому что у лектора надежная репутация, или потому что другие слушатели, которых я считаю более сведущими в таких делах, нежели я сам, этот результат оспаривать не стали. Конечно, я могу ошибиться во всех своих умозаключениях, а результат вполне может оказаться ложным — либо истинным, но никоим образом не следующим из представленного доказательства. Все эти тонкости никак не влияют на ту принципиальную позицию, которую я здесь представляю. Результат может оказаться истинным и адекватно доказанным, и в таком случае я, в принципе, могу проследить за ходом всего доказательства — или же ошибочным, в каковом случае, как уже упоминалось, он нас в данном контексте не интересует (см. §3.2 и §3.4). Возможные исключения могут составить лишь те случаи, когда представляемый материал касается каких-либо спорных аспектов теории бесконечных множеств или опирается на какой-то необычный метод рассуждения, который может быть признан сомнительным в соответствии с теми или иными математическими воззрениями (что, само по себе, может заинтриговать меня до такой степени, что я впоследствии действительно попытаюсь это доказательство повторить). Как раз такие исключительные ситуации мы обсуждали выше, в комментарии к возражению Q11.

Что касается подобных соображений относительно природы математической точки зрения, на практике многие математики могут и не иметь четкого представления о том, каких именно фундаментальных принципов они в действительности придерживаются. Однако, как уже было сказано выше, в комментарии к Q11, если математик, у которого нет определенной позиции в отношении того, следует ли принимать, скажем, некую «аксиому Q», желает проявить осмотрительность, то ничто не мешает ему изложить требующие принятия аксиомы Q результаты в следующем виде: «Из принятия аксиомы Q следует, что…». Разумеется, математики, несмотря на всю их пресловутую педантичность, проявляют в подобных вопросах должную осмотрительность далеко не всегда. Нельзя отрицать и того, что время от времени им удается допускать и вовсе очевидные ошибки. И все же все эти ошибки — если они допущены по недосмотру, а не следуют из тех или иных непоколебимых принципов — являются исправимыми. (Как упоминалось ранее, возможность действительного применения математиками в качестве основы для своих решений необоснованного алгоритма будет подробно рассмотрена в §3.2 и §3.4. Поскольку эта возможность не противоречит выводу G, она не является предметом настоящего обсуждения.) В данном случае нас не занимают исправимые ошибки, так как к вопросу о принципиальной достижимости тех или иных результатов они никакого отношения не имеют. А. вот возможные неопределенности в действительных взглядах математиков, безусловно, требуют дальнейшего обсуждения, которое и приводится ниже.

Q13. У математиков нет абсолютно определенных убеждений относительно обоснованности или непротиворечивости используемых ими формальных систем — как нет и однозначного ответа на вопрос о том, «пользователями» каких именно формальных систем они себя полагают. Не подвергаются ли их убеждения постепенному размыванию по мере того, как формальные системы все более удаляются от области феноменов, доступных непосредственному интуитивному или экспериментальному восприятию?

И правда, нечасто встретишь математика, способного похвалиться прочно устоявшимися и непоколебимо непротиворечивыми убеждениями, когда речь заходит об основах предмета. Кроме того, по мере накопления опыта математик вполне может изменить свои взгляды относительно того, что считать неопровержимо истинным, если он вообще склонен считать неопровержимо истинным что бы то ни было. Можно ли, например, быть совершенно и полностью уверенным в том, что число 1 отлично от числа 2? Если говорить о некоей абсолютной человеческой уверенности, то не совсем ясно, можно ли подобное понятие как-то однозначно определить. Однако какую-то точку опоры все же выбрать необходимо. Вполне приемлемой точкой опоры может стать принятие в качестве неопровержимо истинной некоторой системы убеждений и принципов, от которой уже можно двигаться в своих рассуждениях дальше. Разумеется, нельзя забывать и о том, что многие математики вовсе не имеют определенного мнения относительно того, что именно можно считать неопровержимо истинным. Таких математиков я попросил бы какую-никакую опору для себя все же выбрать и просто быть готовыми при необходимости впоследствии ее сменить. Как показывает доказательство Гёделя, какую бы позицию математик в этом случае ни занял, ее все равно невозможно полностью уместить в рамки правил любой постижимой формальной системы (а если и возможно, то этот факт невозможно однозначно установить). И дело даже не в том, что та или иная конкретная позиция постоянно изменяется; система убеждений, полностью охватываемая рамками любой (достаточно обширной) формальной системы F, неизбежно должна также простирается и за пределы доступной F области. Любая позиция, среди неопровержимых убеждений которой имеется и убеждение в обоснованности системы F, должна также включать в себя и убежденность в истинности гёделевского предположения[15] G(F). Убежденность в истинности G(F) не представляет собой изменения позиции; эта убежденность уже подразумевается неявно в исходной позиции, допускающей принятие истинности формальной системы F, пусть даже поначалу это и не очевидно.

Безусловно, всегда существует возможность того, что в выводы, получаемые математиком на основании исходных посылок какой-либо конкретной точки зрения, закрадется ошибка. Одна только возможность возникновения такой ошибки — даже если в действительности никакой ошибки допущено не было — может привести к уменьшению степени убежденности, которую математик питает в отношении своих выводов. Однако такое «постепенное размывание» нас, вообще говоря, не занимает. Подобно действительным ошибкам, оно «исправимо». Более того, если доказательство было проведено действительно корректно, то чем дольше его изучаешь, тем, как правило, более убедительными представляются полученные в нем выводы. «Постепенное размывание» математик может испытать на практике, но не в принципе, что возвращает нас к обсуждению возражения Q12.

Таким образом, вопрос перед нами встает здесь следующий: имеет ли место постепенное размывание в принципе, т.е. может ли математик счесть, скажем, обоснованность некоторой формальной системы F неопровержимой, тогда как в обоснованности более сильной системы F* он будет лишь «практически уверен». Этот вопрос не представляется мне сколько-нибудь серьезным, коль скоро, какой бы ни была система F, мы вправе настаивать, чтобы она включала в себя обычные логические правила и арифметические операции. Упомянутый выше математик, который верит в обоснованность системы F, должен также верить в ее непротиворечивость, а следовательно, и в истинность гёделевского высказывания G(F). Таким образом, одни только выводы из формальной системы F не могут охватывать всей совокупности математических убеждений математика, какой бы эта система ни была.

Однако следует ли считать высказывание G(F) неопровержимо истинным всякий раз, когда мы признаем неопровержимо обоснованной формальную систему F? Полагаю, утвердительный ответ на этот вопрос не должен вызывать никаких сомнений; и это тем более так, если придерживаться в отношении воспроизведения математического доказательства той «принципиальной» позиции, которой мы придерживались до сих пор. Единственная возникающая в этой связи реальная проблема касается деталей фактического кодирования утверждения «система F непротиворечива» в форме арифметического утверждения (?₁-высказывания). Сама по себе базовая идея неопровержимо очевидна: если система F является обоснованной, то она, безусловно, непротиворечива. (Так как если бы она не была непротиворечивой, то среди ее утверждений присутствовало бы утверждение «1 = 2», т.е. система была бы необоснованной.) Что касается деталей этого самого кодирования, то здесь нам вновь предстоит иметь дело с различием между «принципиальным» и «практическим» уровнями. Не составит особого труда убедиться в том, что такое кодирование в принципе возможно (хотя сам процесс убеждения может занять некоторое время), однако убедиться в корректном выполнении того или иного конкретного действительного кодирования — дело совсем другое. Детали кодирования, как правило, бывают в известной степени произвольными и в разных изложениях могут весьма значительно отличаться. Возможно, где-то закрадется незначительная ошибка или просто опечатка, которая, в формальном смысле, должна бы сделать недействительным данное конкретное предназначенное для выражения «G(F)» теоретико-числовое предположение, однако в действительности этого не происходит.

Надеюсь, читатель понимает, что возможность возникновения таких ошибок не существенна, когда речь заходит о том, что мы подразумеваем здесь под принятием предположения G(F) в качестве неопровержимой истины. Я, разумеется, говорю о действительном предположении G(F), а не о возможном случайном предположении, непреднамеренно сформулированном благодаря опечатке или незначительной ошибке. В этой связи мне вспоминается одна история о великом американском физике Ричарде Фейнмане. Фейнман, по-видимому, объяснял одному из студентов какое-то понятие, но оговорился. Когда студент выразил недоумение, Фейнман вспылил: «Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!»[16].

Один из возможных способов такого явного кодирования состоит в использовании представленных еще в НРК спецификаций машин Тьюринга и точном воспроизведении доказательства гёделевского типа, описанного в §2.5 (пример такого кодирования приводится в Приложении А). Впрочем, даже и в этом случае об абсолютной «явности» говорить нельзя, поскольку нам понадобится еще и каким-то явным образом закодировать правила формальной системы F в системе обозначений действий машин Тьюринга; обозначим такой код, скажем, через T_F- (Код T_F должен удовлетворять определенному свойству: если некоторому высказыванию P, выводимому в рамках системы F, ставится в соответствие некоторое число р, то необходимо, скажем, чтобы равенство T_F(p) = 1 выполнялось всякий раз, когда высказывание P является теоремой системы F, в противном же случае вычисление T_F(p) не должно завершаться вовсе.) Безусловно, все это открывает широкий простор для формальных ошибок. Помимо возможных трудностей, связанных с практическим построением кода T_F на основе системы F и отысканием числа p на основе высказывания P, отсутствует ясность и в отношении другого вопроса: а не ошибся ли я сам где-нибудь в спецификациях машин Тьюринга, — иными словами, можем ли мы быть полностью уверены в корректности приведенного в Приложении А этой книги кода, если вдруг решим использовать для отыскания вычисления C_k(k) именно это определение? Лично я думаю, что ошибок там нет, однако в собственной непогрешимости я уверен куда как меньше, нежели в первоначальных построениях Гёделя (пусть и более сложных). Впрочем, всякому дочитавшему до этого места, смею надеяться, уже ясно, что возможные ошибки подобного рода существенной роли здесь не играют. Помните, что говорил Фейнман?

Что же касается собственно моих спецификаций, следует упомянуть еще один формальный момент. Представленный мною в §2.5 вариант доказательства Гёделя(—Тьюринга) опирается не на непротиворечивость системы F, а на обоснованность алгоритма A, и являет собой критерий для установления незавершаемости вычислений (т.е. истинности ?₁-высказываний). Этот вариант подходит нам ничуть не хуже любых других, поскольку известно, что из обоснованности алгоритма A следует истинность утверждения о незавершаемости вычисления C_k(k), каковое явное утверждение (тоже ?₁-высказывание) мы имеем полное право использовать вместо высказывания G(F). Более того, как отмечалось выше (см. §2.8), доказательство, вообще говоря, зависит не от непротиворечивости формальной системы F, а от ее ?-непротиворечивости. Из обоснованности системы F очевидно следует ее непротиворечивость, равно как и ?-непротиворечивость. Если допустить, что система F обоснованна, то ни ?(F), ни G(F) из ее правил (см. §2.8) не следуют, однако оба эти высказывания являются истинными.

Думаю, можно с уверенностью заключить, что какое бы «постепенное размывание» убежденности того или иного математика ни сопровождало переход от убеждения в обоснованности формальной системы F к убеждению в истинности высказывания G(F) (или ?(F)), оно будет целиком и полностью обусловлено возможностью ошибки в точной формулировке полученного им высказывания «G(F)». (To же применимо и к высказыванию ?(F).) Все это не имеет непосредственного отношения к настоящему обсуждению — при наличии подлинной (не случайной) формулировки высказывания G(F) никакого размывания убежденности происходить не должно. Если формальная система F неопровержимо обоснованна, то ее высказывание G(F) столь же неопровержимо истинно. Все формы заключения G (G**, G***) остаются неизменными при условии, что под «истинностью» подразумевается «неопровержимая истинность».

Q14. Нет никаких сомнений в том, что формальная система ZF — или некоторая стандартная ее модификация (обозначим ее через ZF*) —действительно включает в себя все необходимое для серьезной математической деятельности. Почему бы просто не принять эту систему за основу, смириться с недоказуемостью ее непротиворечивости и продолжить свои математические изыскания?

Полагаю, такая точка зрения весьма и весьма распространена среди практикующих математиков, особенно тех, кто не слишком углубляется в фундаментальные основы или философию своего предмета. Подобное отношение вполне естественно для людей, главной заботой которых является просто хорошее выполнение серьезной, пусть и математической, работы (хотя в действительности такие люди крайне редко выражают свои результаты в рамках строгих правил формальных систем, подобных ZF). Согласно этой точке зрения, математика имеет дело лишь с тем, что можно доказать или опровергнуть в рамках некоей конкретной формальной системы — такой, например, как ZF (или какая-либо ее модификация ZF*). С высоты такой позиции математическая деятельность и в самом деле напоминает своего рода «игру». Назовем ее ZF-игрой (или ZF*-игрой), причем играть в эту игру следует в соответствии с правилами, установленными в рамках данной системы. Такой подход характерен для формалиста, подлинный же формалист мыслит исключительно в терминах ИСТИННОГО и ЛОЖНОГО, которые не обязательно совпадают с истинным и ложным в их повседневном смысле. Если формальная система обоснованна, то все, что является истинным, и будет истинным, а все, что ЛОЖНО, будет ложным. Однако наверняка найдутся высказывания, формализуемые в рамках данной системы, которые, будучи истинными, не являются ИСТИННЫМИ, и другие, которые, будучи ложными, не являются ЛОЖНЫМИ, иными словами, в обоих случаях эти высказывания оказываются НЕРАЗРЕШИМЫМИ. Если система ZF непротиворечива, то в ZF-игре гёделевское высказывание[17] G(ZF) и его отрицание ~ G(ZF) принадлежат, соответственно, к этим двум категориям. (Более того, окажись система ZF противоречивой, то и высказывание G(ZF), и его отрицание ~ G(ZF) были бы ИСТИННЫМИ и ЛОЖНЫМИ одновременно!)

ZF-игра, судя по всему, представляет собой исключительно разумный подход, позволяющий реализовать большую часть того, что нас интересует в обычной математике. Однако по причинам, которые обозначены выше, я совершенно не в состоянии понять, каким же образом из нее может «произрасти» реальная точка зрения в отношении чьих бы то ни было математических убеждений. Ибо если кто-то считает, что с помощью «практикуемой» им математики он устанавливает исключительно подлинные математические истины — скажем, истинность ?₁-высказываний, — то он должен верить и в то, что используемая им система обоснованна; а если он верит в ее обоснованность, то он должен также верить в ее непротиворечивость, то есть в то, что ?₁-высказывание, утверждающее истинность G(F), действительно истинно, несмотря на то, что оно НЕРАЗРЕШИМО. Таким образом, математические убеждения человека должны включать в себя нечто, что в рамках ZF-игры невыводимо. С другой стороны, если человек не верит в обоснованность формальной системы ZF, то он не может верить и в подлинную истинность ИСТИННЫХ результатов, полученных с помощью ZF-игры. В обоих случаях сама по себе ZF-игра не в состоянии снабдить нас удовлетворительной позицией в том, что касается математической истинности. (Это равным образом применимо к любой формальной системе ZF*.)

Q15. Выбранная нами формальная система F может и не оказаться непротиворечивой — по крайней мере, мы не можем быть вполне уверены в ее непротиворечивости; по какому же, в таком случае, праву мы утверждаем, что высказывание G(F) «очевидно» истинно?

Хотя этот вопрос был достаточно исчерпывающе рассмотрен в предыдущих обсуждениях, я полагаю, что суть того рассмотрения полезно будет изложить еще раз, поскольку возражения, подобные Q15, чаще всего оказываются среди нападок на наше с Лукасом приложение теоремы Гёделя. Суть же в том, что мы вовсе не утверждаем, что высказывание G(F) непременно истинно для любой формальной системы F, мы утверждаем лишь, что высказывание G(F) настолько же достоверно, насколько достоверна любая другая истина, получаемая применением правил самой системы F. (Вообще говоря, высказывание G(F) оказывается более достоверным, нежели утверждения, получаемые действительным применением правил F, так как система F, даже будучи непротиворечивой, не обязательно будет обоснованной!) Если мы верим в истинность любого утверждения P, выводимого исключительно с помощью правил системы F, то мы должны верить и в истинность G(F), по крайней мере, в той же степени, в какой мы верим в истинность P. Таким образом, ни одна постижимая формальная система F — или эквивалентный ей алгоритм F — не может послужить абсолютно полной основой для подлинного математического познания или формирования убеждений. Как отмечалось в комментариях к Q5 и Q6, наше доказательство построено как reductio ad absurdum: мы выдвигаем предположение, что система F действительно является абсолютной основой для формирования убеждений, а затем показываем, что такое предположение приводит к противоречию, т.е. является неверным.

Мы, конечно же, можем, как в Q14, выбрать для удобства какую-то конкретную систему F, хотя уверенности в том, что она обоснованна, а потому непротиворечива, это нам не добавит. Впрочем, при наличии действительных сомнений в обоснованности системы F любой получаемый в рамках F результат P следует формулировать в виде

«высказывание P выводимо в рамках системы F»

(или, что то же самое, «высказывание P ИСТИННО»), избегая утверждений вида «высказывание P истинно». Такое утверждение в математическом смысле вполне приемлемо и может быть либо действительно истинным, либо действительно ложным. Совершенно законным образом мы можем свести все наши математические высказывания к утверждениям такого рода, однако и в этом случае нам никуда не деться от утверждений об абсолютных математических истинах. При случае мы можем прийти к убеждению, будто мы установили, что какое-то утверждение вышеприведенного вида является в действительности ложным, т.е. получить следующий результат:

«высказывание P невыводимо в рамках системы F».

Такие утверждения имеют вид: «такое-то вычисление не завершается» (или, по сути, «будучи примененным к высказыванию P, алгоритм F не завершается»), что в точности совпадает с формой рассматриваемых нами ?₁-высказываний. Вопрос: какие средства мы полагаем допустимыми в процессе получения подобных утверждений? Каковы, наконец, те математические процедуры, в которые мы действительно верим и применяем при установлении математических истин? Такая система убеждений, при условии, что они достаточно разумны, никак не может быть эквивалентна всего лишь убежденности в обоснованности и непротиворечивости формальной системы, какой бы эта формальная система ни была.

Q16. Заключение об истинности высказывания G(F) для непротиворечивой формальной системы F мы делаем, исходя из допущения, что те символы системы F, которые, как мы полагаем, служат для представления натуральных чисел, действительно представляют натуральные числа. Окажись на их месте другие числа — скажем, некие экзотические «сверхнатуральные» числа, — мы вполне могли бы обнаружить, что высказывание G(F) ложно. Откуда мы знаем, что в нашей системе F мы имеем дело с натуральными, а не со «сверхнатуральными» числами?