11. То же. Платон
11. То же. Платон
В сравнении с рассмотренными сейчас авторами Платон занимает совершенно новую позицию. Он чрезвычайно чутко относится не только к самим пропорциям, установленным раньше него, но и к тому непрерывному становлению, которое между ними совершается и которое установил Евдокс. Поэтому точку зрения Платона нельзя иначе характеризовать как чисто диалектическую. Элементы, то есть землю, воду, воздух и огонь, Платон называет "началами", которые, если брать их в чистом виде, вечны и неизменны. Однако реально существуют только такие начала, которые находятся в становлении, так что соединение начал с их становлением является не описательным, как у Евдокса, но именно диалектическим, где не только существует то и другое, но еще и третье, в чем они объединяются (Tim. 48b – 50d). Если угодно конкретно осязать эту платоновскую диалектику пропорций, необходимо читать такие тексты из Платона, как Epim. 990e – 991b и Tim. 31c-32a. Эти тексты проанализированы у нас в своем месте (ИАЭ I 275 – 278).
а) Когда Платон говорит о материальных элементах, он прямо противопоставляет землю и огонь (Tim. 31c) на основании общеантичных интуиций. Но эта диалектическая противоположность тут же переходит к своему единству в виде воды и воздуха с подробной мотивировкой, почему между двумя противоположностями здесь не одна, а, две середины (32b). Точно так же поступает Платон и с правильными многогранниками, среди которых в качестве противоположностей он рассматривает неподвижный куб и подвижную, острую и режущую пирамиду, а объединяет Платон эти две "противоположности" при помощи икосаэдра и октаэдра. Додекаэдр, как ближайший к шару, оставляется им для очертания всего космоса в целом (ИАЭ I 291 – 294).
Два обстоятельства нам необходимо отметить особо. Прежде всего, хотя в своем "Тимее" Платон и не говорит специально о музыкальных консонансах, но уже первые четыре пропорции 1:2, 3:2, 4:3, 9:8, указываемые здесь (36ab), явно свидетельствуют о полном понимании Платоном и кварты, и квинты, и октавы; и понимал он их, конечно, в первую очередь, в космологическом плане.
б) О том, какую именно гамму имел в виду Платон в своем изображении космоса, буквально в "Тимее" ничего не сказано; и разные догадки на эту тему составили в современной науке обширную литературу. Рассматривать всю эту литературу не является для нас нужным делом. Мы бы обратили внимание только на то, что имеется один гармонический принцип, который в "Тимее" тоже не формулирован буквально, но который представляется нам очевидным. Это принцип золотого деления, который в точном и сознательном виде до Птолемея вообще нигде в античности не формулировался. Платон утверждает в "Тимее" (32a), что два тела наилучшим способом могут быть объединены только так, что "первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и, соответственно, последнее к среднему – как среднее к первому". Здесь стоит только под первой величиной понимать всю величину, а под последней величиной – меньшую величину, и мы сразу получим закон золотого деления: вся величина так относится к ее большей части, как ее большая часть – к ее меньшей части.
в) Чтобы в точности распознать проводимый здесь Платоном закон золотого деления, необходимо иметь в виду его стремление понимать всю действительность как максимально правильно построенную, то есть как состоящую из пяти правильных многогранников и шара.
Если мы возьмем куб, то ясно, что его квадратные грани составлены каждая из двух равнокатетных прямоугольных треугольников. Это заставляет признать, что куб в строгом смысле слова не имеет никакого отношения к золотому делению. Однако желательная для Платона правильность этого многогранника нисколько не страдает. Можно сказать, что правильность взаимного соотношения элементов куба настолько велика, что она даже не нуждается в золотом делении и даже превосходит его по своей правильности. Эта правильность, соотношения доходит тут до равенства: грани куба – это правильные квадраты, стороны которых буквально равны одна другой; а проведение диагонали внутри куба приводит к получению равнобедренных прямоугольных треугольников, в отношении которых у Платона имеется особая симпатия.
Если же мы возьмем пирамиду, октаэдр и икосаэдр, то их грани уже не будут составлены из прямоугольных треугольников, но все же из треугольников равносторонних. Однако во всяком равностороннем треугольнике путем проведения его высоты мы находим два таких прямоугольных треугольника, в которых один катет вдвое меньше гипотенузы (54d).
Представим себе теперь меньший катет каждого из указанных треугольников как 1. Тогда гипотенуза каждого такого треугольника будет равняться 2. И чтобы в таких условиях представить себе другой катет, то, на основании общеизвестной Пифагоровой теоремы, этот другой катет будет равняться ?3. Тут-то и возникает то замечательное явление, что Платон, в сущности говоря, пользуется не чем иным, как именно золотым делением, потому что ?3 лишь незначительно отличается от числа 1, 71..., характерного для золотого деления.
Здесь, однако, вовсе не получается закона золотого деления, как это хотелось бы Г.Е.Тимердингу[277]. Дело в том, что та иррациональная дробь, которая получается в результате вычисления величины ?3, равняется 1, 732..., а отношение золотого деления в данном случае (как отношение двух катетов) равняется 1:?3 то есть равняется 0, 577..., в то время как пункт золотого деления в общем случае падает на дробь 0, 618. Другими словами, полного совпадения с золотым делением здесь не получается; и, может быть, Г.Е.Тимердинг рассуждает здесь несколько преувеличенно. Нужно, однако, сказать, что эта преувеличенность здесь ничтожная, да и сам Г.Е.Тимердинг платоновскую симметрию называет здесь не просто золотым делением, но соперником этого последнего. А с такой характеристикой уже вполне можно согласиться. И, таким образом, пирамида, октаэдр и икосаэдр, несомненно, содержат в своей структуре нечто весьма близкое к золотому делению. И это вовсе не плохо, поскольку художественное впечатление определяется не только законом золотого деления в точности, но и болей широкой областью различных числовых отношении, а в приведенном у нас выше тексте из "Тимея" Платон как раз и дает гораздо более общую формулу, а не только специально формулу золотого деления, которую мы там упомянули не в целях математической точности, а, скорее, в целях приведения только одного из примеров художественного соотношения разных частей целого.
Перейдем к додекаэдру.
Что касается додекаэдра, который, согласно самому Платону, близок к шару, то можно задать себе вопрос об отношении стороны пятиугольника и диаметра шара, в который он вписан. Согласно Г.Е.Тимердингу[278], это отношение как раз свидетельствует о наличии здесь золотого деления. Другими словами, весь додекаэдр буквально пронизан принципом золотого деления.
В геометрическом смысле рассуждения здесь простейшие. Соединив центр правильного пятиугольника с его вершинами, мы получаем пять равнобедренных треугольников; а проведя перпендикуляры из вершин этих треугольников на их основания, мы получаем десять прямоугольных треугольников определенного типа. Именно, половина каждой стороны пятиугольника в ее соотношении с проведенными нами радиусами как раз и образует собою золотое деление.
Другими словами, как заключает Г.Е.Тимердинг[279], сторона правильного пятиугольника представляет из себя гипотенузу прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен радиусу описанной вокруг пятиугольника окружности; а другой катет равен стороне десятиугольника, вписанного в ту же окружность. Поэтому соотношение половины стороны правильного пятиугольника с радиусом описанной вокруг него окружности и представляет собой золотое деление.
Таким образом, закон золотого деления с достаточно большой точностью можно приписывать именно Платону в его космологическом и вообще эстетическом использовании пифагорейской пропорционально-числовой гармонии или, точнее говоря, находить принцип золотого деления в его теории правильных многогранников[280].