Значение «Математических рукописей» для методологии и гносеологии науки

Значение

«Математических рукописей»

для методологии и гносеологии науки

Со времени, когда Маркс занялся проблемами обоснования математики, математический анализ, как и вся математика вообще, сделал гигантский шаг вперед. Не только появились новые, более общие и абстрактные математические теории и дисциплины, но значительное изменение претерпели принципы и методы, на которых строится обоснование математики. И тем не менее ряд идей теоретико-познавательного и методологического характера, выдвинутых Марксом, продолжает сохранять свою большую ценность не только для математики, но и для других наук.

Обращение к методологии становится особенно необходимым тогда, когда в науке возникают трудности и кризисные ситуации. В математике такие трудности стали особенно заметными в первой четверти нашего века, когда для многих стало очевидным, что канторовская теория множеств, по крайней мере в ее прежней форме, не может претендовать на роль фундамента здания классической математики. Парадоксы, обнаруженные в ней, свидетельствовали о том, что идея актуальной бесконечности, на которой базируется канторовская теория, нуждается в пересмотре. Более критически настроенные математики, принадлежавшие к интуиционистам и конструктивистам, полностью отказались от актуальной бесконечности. Так, интуиционисты Брауэр, Вейль и Гейтинг стали считать, что источник всех трудностей в теории множеств состоит в том, что Кантор неправомерно переносит на бесконечность принципы, справедливые только для конечных множеств. Уподобляя бесконечное множество конечному, рассматривая его как совокупность готовых элементов, Кантор и его последователи забыли о подлинной сущности бесконечного – его незавершенности. Но диалектика потенциальной и актуальной бесконечности с ее антиномиями не была осмыслена интуиционистами, а здесь также необходим диалектический Марксов подход.

В «Математических рукописях» Маркс неоднократно подчеркивает необходимость исследования переменных в процессе их изменения и становления. По словам Энгельса, существо метода Маркса состоит в том, что он дает возможность «х превращаться в x₁, следовательно, действительно изменяться, тогда как другие исходят из x+h, что всегда представляет лишь сумму двух величин, но никак не изменение одной величины» [1, т. 35, с. 92]. Эта идея о диалектически потенциальном характере математической бесконечности успешно разрабатывается сторонниками конструктивного направления в математике как за рубежом, так и у нас.

«Математические рукописи» Маркса проливают свет и на многие трудные проблемы методологии математики, касающиеся происхождения и роли символических исчислений. В связи с разработкой вопросов математического обеспечения вычислительной техники эти исчисления приобретают ныне особенно важное значение. На примере дифференциального исчисления Маркс подробно прослеживает, как исторически возникают исходные символы и понятия этого исчисления. Без такого анализа невозможно объяснить не только рациональное содержание самого дифференциального исчисления, но и обосновать объективное содержание его понятий.

Исторический очерк развития дифференциального исчисления, о котором вкратце говорилось вначале, может служить образцом применения материалистической диалектики к исследованию истории математики, ее концепций и теорий. Тщательно проанализировав происхождение и реальный смысл исходных понятий и символов дифференциального исчисления, Маркс затем показывает, как впоследствии эти понятия и символы после соответствующего «оборачивания» их роли становятся самостоятельным исходным пунктом для разработки специфического исчисления. В более широком смысле гносеологическое «оборачивание» имеет место в истории математики вообще, например в случае перехода от эмпирически-индуктивной геометрии древних египтян к аксиоматическому ее построению у Евклида и других дедуктивистов.

Рассматривая математические понятия в отрыве от их исторической почвы, игнорируя чрезвычайно сложный, опосредованный характер связи математических теорий с действительностью, идеалисты склоняются к тому, чтобы считать их чистыми созданиями нашей мысли – врожденными, априорными идеями или комбинациями их или же простыми условными соглашениями (конвенциями). Конечно, в процессе исследований ученый иногда строит такие абстракции, вводит такие идеальные объекты и создает такие исчисления, которые являются собственно продуктом его творчества. Без такой активной субъективной деятельности теоретическое познание невозможно, но эта деятельность опирается на объективные законы реального мира. Создание новых абстрактных понятий и теорий стимулируется мыслительным материалом, так или иначе опосредованным внешним опытом, а разработка исчислений проводится в соответствии с законами логики, онтологическая база которых также вовсе не произвольна и не априорна. Именно поэтому получаемые результаты находят практическое подтверждение. В тех же случаях, когда эти результаты не подтверждаются, они подлежат отбрасыванию как не оправдавшая себя часть теоретического «задела».

Марксова концепция обоснования математики дает возможность преодолевать также ограниченность метафизических и наивно-материалистических взглядов на развитие математики. Сторонники этих взглядов, правильно подчеркивая зависимость развития математики от потребностей практики, не видят относительной самостоятельности процесса этого развития. В «Математических рукописях» Маркс со всей силой подчеркивает важность и необходимость чисто логического развития теории в результате «оборачивания метода».

Положительное значение принципа «оборачивания метода» не ограничивается одной лишь математикой, но в ней он выступает особенно рельефно и притом в разных аспектах. С исследованием все более глубоких количественных отношений реального мира математики создают все более абстрактные системы понятий, которые ныне находят свое воплощение в очень разнообразных аксиоматических системах или исчислениях. Эти исчисления, хотя и отображают опосредованно некоторые стороны действительности, строятся, однако, по своим специфическим законам. При этом исходные термины и предложения исчисления на стадии синтаксического анализа рассматриваются как лишенные предметного значения символы и формулы. Только впоследствии, при семантическом анализе, для них подыскивается соответствующая интерпретация, и исчисление, которое прежде было лишь знаковой структурой как таковой, приобретает характер содержательной теории. Этот широко применяемый в современной математике метод исследования представляет типичный случай действия принципа «оборачивания метода». При создании первых аксиоматических систем и исчислений математики то и дело возвращались к анализу реальной действительности и постоянно опирались на содержательные предпосылки. Однако после того как аксиоматическая система построена, ее дальнейшее развертывание происходит чисто логическим путем. Именно так строилась аксиоматика геометрии Евклидом.

Но со временем математики осознали, что наряду с содержательными аксиоматическими системами (системами с заранее заданной интерпретацией) вполне допустимы и даже желательны также и формальные системы, для которых такая интерпретация будет подыскиваться только впоследствии. Иначе говоря, наряду с движением мысли от реальных объектов к системам понятий и исчислений целесообразно и обратное движение от абстрактных понятий и исчислений к их реальным и на этот раз уже приблизительным прообразам. Поэтому Маркс допускает наличие только приблизительных прообразов дифференциала, на каковые Энгельс и указал в «Диалектике природы». И такой метод «оборачивания» исследования оказывается весьма эффективным, он значительно расширяет возможности математического творчества и применения создаваемых исчислений к самым разнообразным областям знания.

Рассматривая аксиомы теории как некоторые гипотезы, можно получить из них эмпирически проверяемые следствия и таким образом уже судить об истиннности или ложности самой теории. Плодотворность указанного метода математической гипотезы была убедительно продемонстрирована в современной физике, например при построении квантовой механики. Этот и другие примеры свидетельствуют о том, что принцип «оборачивания метода» представляет собой ныне все более широко практикуемый в математике способ исследования, при котором некоторые неопределяемые вначале термины и предложения исчисления становятся, по выражению Маркса, «самостоятельным исходным пунктом», реальный эквивалент которого должен быть найден только впоследствии.

«Оборачивание метода» в математике и в гносеологическом исследовании ее понятий есть частный случай широкой диалектической закономерности, на которую Маркс указывает в методологическом «Введении» из «Экономических рукописей 1857 – 1859 годов». «Оборачиваются» не только абстракции и их интерпретации, но и целые методы познавательной деятельности, и притом не только частный метод идеальных конструктов. Так, движение от чувственно-предметной практики к абстрактно-рациональной теории сменяется движением от теории к практике, движение от конкретного к абстрактному «снимается» последующим восхождением от абстрактного к конкретному, индукция «снимается» дедукцией, анализ – синтезом и т.д.

Наконец, следует подчеркнуть важность Марксова анализа роли символов в математике и науке вообще в плане семиотики, а именно структуры значения знака. В математических исчислениях, в частности дифференциальном, исходные термины становятся оперативными символами, которые, по словам Маркса, выражают будущую «стратагему действий». В этой идее о роли оперативных символов нельзя не заметить глубокой внутренней связи с современным понятием алгоритма, играющим фундаментальную роль не только в математике, но и во многих других науках. Значение символов (знаков) оказывается функциональным, оно состоит в рабочей функции знака, т.е. в его роли в рамках данного теоретического построения как своего рода указателя операций, которые производятся посредством этого знака. Эти операции знак за собою влечет и в них активно участвует [см. 8, с. 157 – 160]. Здесь обнаруживается своеобразная диалектика: значение знака присуще ему, а в то же время оно – «вне» его самого.

«Математические рукописи» Маркса, создававшиеся параллельно с работой над «Капиталом», помогают более глубоко понять и вскрыть колоссальное богатство методологических идей, к которым пришел и которым он следовал в ходе своих экономических исследований. Огромное значение этих идей для теории познания и методологии диалектического материализма особенно ярко выступает в наши дни, в условиях научно-технической революции.

Анализ научно-теоретического и философского наследия К. Маркса и Ф. Энгельса показывает, что они рассматривали диалектический материализм как единственно научную универсальную методологию, применимую для изучения явлений природы, общественного развития и познания. Они убедительно доказали, что принцип материалистического монизма при изучении процессов общественной жизни людей может быть последовательно проведен только тогда, когда признается диалектический характер природы и учитывается единство природы и общества. Именно такой подход к философским проблемам развивающегося научного знания позволил Марксу и Энгельсу сделать и в отношении общества и в отношении природы важные теоретические предсказания, которые подтверждаются современной наукой и практикой.

Среди работ Маркса и Энгельса, посвященных методологическим проблемам естественнонаучного знания, «Диалектика природы» занимает особое место. Это первое целостное, хотя, к сожалению, и незаконченное философское исследование, полностью посвященное анализу данных наук о природе с позиций диалектического материализма. «Диалектика природы» имеет огромное методологическое значение прежде всего потому, что она убедительно показывает действенность материалистической диалектики, ее неисчерпаемые творческие возможности при решении актуальных философских проблем естествознания, имеющих конкретно-научные последствия. В этом труде намечена далеко идущая методологическая перспектива развития наук о природе, которая внутренне связана с философско-мировоззренческой позицией марксизма. Здесь получил существенное развитие категориальный базис материалистической диалектики. Труд Энгельса приобретает тем большее значение, что Маркс не смог осуществить свой замысел – исследовать проблемы диалектики в специальной работе.

Одна из основных идей «Диалектики природы» – необходимость адекватного отражения объективного мира в системе понятий – остается актуальной и сегодня. «Природа является пробным камнем для диалектики, – писал Энгельс, – и надо сказать, что современное естествознание доставило для такой пробы чрезвычайно богатый, с каждым днем увеличивающийся материал и этим материалом доказало, что в природе все совершается в конечном счете диалектически, а не метафизически» [1, т. 20, с. 22].

Успехи естествознания за время, прошедшее с тех пор, как были написаны эти строки, убедительно показывают, что слова Энгельса – «в природе все совершается… диалектически» – блестяще подтвердились. В то же время на каждом новом этапе развития знания это положение приобретает форму новых проблем, требующих своего разрешения и дальнейшей разработки материалистической диалектики. В.И. Ленин не был знаком с «Диалектикой природы», но, работая над трудами «Материализм и эмпириокритицизм», «Философские тетради», «О значении воинствующего материализма» и другими, он всегда имел в виду принципиальное решение Энгельсом философских проблем естествознания в известных ему сочинениях и письмах Энгельса. Развивая принципиальные положения диалектико-материалистической философии в новых условиях, Ленин при решении важнейших философских проблем, поставленных развивающимся естествознанием и общественно-исторической практикой начала XX в., неоднократно ссылается на труды Энгельса, в частности на «Анти-Дюринг».

В условиях научно-технической революции XX в. выявилась исключительная новаторская глубина «Математических рукописей» Маркса. Его идеи о специфических путях образования идеальных конструктов в науках высокой степени абстрагирования и формализации, в сочетании с соответствующими положениями «Диалектики природы», существенно стимулируют современные нам исследования в области теории познания и логики науки.

Естественно, что отдельные конкретные данные, которыми оперировал Энгельс в «Диалектике природы», могли за прошедшие десятилетия устареть и действительно устарели, но все основные его гносеологические идеи и сегодня обладают непреходящей ценностью и являются надежным методологическим руководством для естествоиспытателей и философов. Это тем более знаменательно, что за это время естественные науки пережили коренную ломку представлений, понятий и законов, в естествознании произошли глубокие изменения, затрагивающие концептуальные основы науки, в результате чего многие классические положения, господствовавшие в период создания трудов Энгельса, стали достоянием истории или сохранились в современном естествознании лишь как частный случай. Философский анализ революционных изменений в науке показывает, что в методологическом отношении Энгельс значительно опередил уровень развития естествознания своего времени, и наука XX в. доказала истинность и плодотворность его идей.